本節(jié)將詳細講解切比雪夫濾波器(ChebyshevI和ChebyshevII)的綜合設(shè)計，結(jié)合之前電路仿真的工作，現(xiàn)將Chebyshev型濾波器集成到了濾波器設(shè)計App中，提供一個試用版本，并提供GitHub開源鏈接。

切比雪夫濾波器特點和用途

Chebyshev(切比雪夫)濾波器是Cauer于1930-1931年首先使用切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)逼近來進行設(shè)計的濾波器，其特點是通帶內(nèi)具有等紋波特性，對比Butterworth濾波器其更具陡峭的截止特性，被廣泛用于實際工程應(yīng)用之中。

另外，實際上Butterworth濾波器是Chebyshev濾波器在紋波為0的一個特殊情況 (文中有解釋)。

關(guān)于Chebyshev(Pafnuty Lvovich Chebyshev ,俄語原名: Пафну?тий Льво?вич Чебышёв, IPA: [p?f?nut??j ?l?vov??t? t??b???of], 英語曾用名: Tchebycheff, 法語：Tchebyshev，德語：Tschebyschow，中文名：切比雪夫，車比雪夫)本人的相關(guān)信息可以參考[陳關(guān)榮｜切比雪夫，他帶起了俄羅斯現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展]。

切比雪夫多項式(Chebyshev polynomials)

首先我們要清楚Cauer當(dāng)年怎么想到使用切比雪夫多項式來進行濾波器設(shè)計的，這里我們要明白一個概念--濾波器逼近(Filter Approximation)。通過電路分析章節(jié)可知，我們可以通過電路實現(xiàn)一個多項式，那么反過來，我們可以由一個多項式實現(xiàn)一個電路，為了實現(xiàn)一個特定頻率響應(yīng)的濾波器，問題轉(zhuǎn)換為找到一個合適的多項式來對濾波器進行逼近。

以頻率響應(yīng)曲線為目標(biāo)的濾波器設(shè)計最關(guān)鍵的是對0附近進行擬合，是不是有點懵，對吧，0有什么好擬合的， 不就好了嘛，對于濾波器而言，我們希望在無窮頻率遠處衰減為無窮(也可以從能量角度來理解，頻率無限遠處能量必須為0)，要求當(dāng) 的時候 ，所以 必須是一個以x為自變量的多項式。

最簡單的我們可以用

來擬合，讓我們看看效果：

相信大家也看到了，這種擬合是不是隨著n的增大，函數(shù)值在[-1,1]范圍內(nèi)越接近于0。

我們還有更好的多項式(或函數(shù))來逼近0嗎？

有！那就是切比雪夫多項式 (字母T就是切比雪夫音譯的首字母)： 大家看到?jīng)]有，函數(shù)值被限制在cos函數(shù)的正負1以內(nèi)，這也是等紋波的底層原因。

做億點點變形，看看切比雪夫多項式原本的模樣：

當(dāng)n=0 時：

當(dāng)n=1 時：

當(dāng)n=2 時，使用三角函數(shù)的倍角公式得到：

令即可得到切比雪夫多項式的遞推公式(可用歸納法證明):

由遞推公式可以得到不同 值下的切比雪夫多項式，來看看實際的函數(shù)值和0值得逼近效果：

這等紋波的逼近效果是不是非常棒呢，在[-1,1]區(qū)間內(nèi)，誤差絕對不會超過+/-1。

這里的簡單多項式 和切比雪夫多項式實際上就是濾波器的特征多項式 (另，特征函數(shù)的嚴(yán)格定義 是 )。當(dāng) 時，就是Butterworth濾波器的特征多項式，當(dāng) 時，就是切比雪夫濾波器的特征多項式。

寫到這里實際上本合集最初的目標(biāo)基本要實現(xiàn)了--綜合得到直線衰減特性的濾波器。我們只需要綜合出逼近 的特征多項式就可以完成濾波器的綜合，這里暫時不展開，先挖個坑，后面續(xù)繼續(xù)聊。

匹配型切比雪夫低通濾波器的綜合

匹配型濾波器表示輸入輸出阻抗不為0且相等，這時濾波器兩端都與終端阻抗相互匹配，濾波器負載電阻 可以獲得信號源最大功率。

匹配型奇數(shù)階切比雪夫低通濾波器的頻率傳遞函數(shù)為: 其中 是濾波器紋波大小(由于 在通帶范圍內(nèi)是 ，所以我們可以控制 就可控制紋波大小)， 是切比雪夫多項式.

得到傳遞函數(shù)后首先通過解析開拓計算出極點，選擇左半邊極點可以獲得 ，由特征函數(shù)解析開拓，選擇合適的零點得到 ，然后由 和 得到歸一化阻抗 ，最后通過輾轉(zhuǎn)相除得到元器件值。

我們以3階切比雪夫濾波器為例說明綜合過程，紋波 ，帶寬為 ，源阻抗為 ，負載阻抗為 ：

匹配型切比雪夫濾波器有現(xiàn)成的參數(shù)計算公式: 詳細推導(dǎo)過程可以參考 。

匹配型偶數(shù)階切比雪夫低通濾波器傳遞函數(shù)假設(shè)還用前式，不知道有沒有發(fā)現(xiàn)一個問題，當(dāng) 時: 所以對于偶數(shù)階切比雪夫濾波器，則得到： 由于切比雪夫濾波器紋波不為0，所以有 ，這和匹配型的最初定義相互矛盾，所以在匹配狀態(tài)下我們不能使用和奇數(shù)階濾波器相同的傳遞函數(shù)表達式。

那么如何解決這一問題的呢？

使用頻率變換的方法 ，對于一個4階的低通濾波器，我們可以這樣轉(zhuǎn)化達到目的：

將4階低通濾波器的形狀轉(zhuǎn)化為一個3階低通濾波器的形狀，我們找到4階低通濾波器的最接近0頻率的且衰減為0的一個點 ，我們想要的是當(dāng)輸入頻率 時，給到函數(shù)的頻率 ，當(dāng)輸入頻率為 時，給到函數(shù)的頻率 ，當(dāng)輸入頻率為無窮是，給到函數(shù)的頻率也為無窮，相當(dāng)于將4次濾波器的 往0頻壓縮，如下動圖所示效果(藍色線為原始切比雪夫函數(shù)的4階濾波器，紅色線顯示了通過頻率變換后的4階頻率響應(yīng)曲線，頻率變換后，其截止特性要比原本的差一點，但是總的來說比低一階的要好)：

頻率變換公式如下: 其中 ，可以滿足上述要求，所以最終得到偶數(shù)階匹配的切比雪夫低通濾波器傳遞函數(shù)為： 下圖為4階切比雪夫低通濾波器的設(shè)計過程，紋波 ，帶寬為 ，源阻抗為 ，負載阻抗為 :

偶數(shù)階切比雪夫濾波器綜合沒有現(xiàn)成的公式，只能使用這種輾轉(zhuǎn)相除的辦法去綜合實際器件，為了普適性，濾波器軟件中采用輾轉(zhuǎn)相除法計算器件系數(shù)。

由衰減確定濾波器階數(shù)

設(shè)濾波器綜合中通帶頻率為 ，其紋波為 dB，截止頻率為 ，衰減為 dB.示意圖如下：

所要求的通帶到阻帶的衰減是 ，可以通過計算得到衰減和階數(shù)關(guān)系為： 當(dāng) 比較大時相同條件下切比雪夫濾波器的衰減比巴特沃斯濾波器衰減大 .

非匹配型切比雪夫濾波器綜合

非匹配型切比雪夫濾波器的頻率傳遞函數(shù)為: 其中 是一個"增益因子"，這個增益因子的求解可以通過在 時求解，當(dāng) 時，濾波器為直通狀態(tài)，整個電路就是兩個電阻的分壓，計算有效衰減值得到： 如 則得到 。

這里要注意的是濾波器設(shè)計中的傳遞函數(shù)計算使用的是有效衰減值，而不是插入損耗，兩者有明顯的區(qū)別。有效衰減計算的是負載所獲得的功率比上負載可能獲得的最大功率；而插入損耗是系統(tǒng)中接入網(wǎng)絡(luò)后的輸出電壓比不接入網(wǎng)絡(luò)輸出電壓比。

有效衰減定義 ： 插入衰減定義 兩者關(guān)系，如下： 當(dāng) 時，兩者衰減量一致，但是當(dāng) 時，這兩者存在明顯差異， 總是要大于 ，這種差異在衰減器設(shè)計中尤其會誤導(dǎo)設(shè)計人員，如 , ，這時若使用不同的衰減來計算會得到不同的結(jié)果，大多數(shù)情況下設(shè)計軟件采用的是有效衰減，但是有效衰減有個致命缺陷是當(dāng) 或 時，定義會失效，其根本原因是有效衰減是以功率計算的，當(dāng)滿足上述條件時，負載獲得的功率為0，這會使得定義失去意義。

非匹配型切比雪夫濾波器的極點位置和匹配性的完全相同，唯一不同的是特征函數(shù)。

使用 解析開拓來進行求解，其他過程相同，具體推導(dǎo)過程見附件資料 。

切比雪夫濾波器的零極點分析

切比雪夫低通濾波器的極點在一個橢圓上，可以通過 的公式(這里僅僅討論匹配型切比雪夫濾波器)進行推導(dǎo): 令公式的分母等于0，得到極點位置公式為： 根據(jù)切比雪夫公式得到: 還是使用歐拉公式： 通過求解得到：

實部： 虛部： 其中: 可見 的極點落在一個橢圓上，我們?nèi)?fù)平面的左邊極點即可得到 的通項公式。

不同通帶類型濾波器零極點圖如下：

設(shè)低通極點位置為 則：

高通極點位置為: 帶通極點位置為( 表示 ):

帶阻極點位置為( 表示 ):

不同濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換

只要有了低通原型，其他濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換同模擬無源濾波器設(shè)計(五)-Butterworth濾波器設(shè)計詳解。

逆切比雪夫濾波器設(shè)計

逆切比雪夫(Inverse Chebyshev)濾波器也稱為Chebyshev II濾波器，其特點是有最平坦的通帶頻率響應(yīng)，阻帶具有等紋波特性。那么怎么從切比雪夫濾波器出發(fā)推導(dǎo)出切比雪夫濾波器呢？

請看如下變換關(guān)系：

首先考慮切比雪夫低通濾波器在通帶內(nèi)具有等紋波特性，阻帶隨著頻率升高幅度逐漸衰減到0，同之前分析高通濾波器那樣，使用 替代 即可得到高通濾波器特性，從圖形中可以看到，若我們用1減去這個高通濾波器，則可以得到逆切比雪夫濾波器，如下動畫展示了此過程：

通過這個變換我們得到了逆切比雪夫濾波器幅度公式: 從中可以看到逆切比雪夫濾波器除了有極點還有零點。

逆切比雪夫濾波器零點位置為 ： 極點位置為： 逆切比雪夫濾波器的極點和切比雪夫濾波器極點互為倒數(shù)。

在進行逆切比雪夫濾波器設(shè)計時也需要特別注意偶數(shù)階濾波器設(shè)計，也是需要和前述切比雪夫濾波器一樣進行頻率變換的。原因可以這樣理解，由于未變換前逆切比雪夫濾波器在頻率為無窮大時不可能衰減不為0，所以需要進行頻率變換讓頻率無窮大時濾波器衰減為0.

逆切比雪夫濾波器是從切比雪夫濾波器導(dǎo)出，原切比雪夫濾波器的3dB截止頻率點變?yōu)槟媲斜妊┓虻慕刂诡l率點，所以截止頻率位置也需要進行頻率變換 ： 逆切比雪夫濾波器的器件綜合過程中，由于存在零點，故再也不能使用全極點的輾轉(zhuǎn)相除的辦法求得器件參數(shù)值，只能通過零點移位技術(shù)(Zero-Shifting Technique)來求得器件參數(shù)，Matlab代碼中已經(jīng)實現(xiàn)了這一過程。

如下圖所示為匹配型3階逆切比雪夫濾波器的綜合過程，衰減 ，紋波 ，帶寬為 ，源阻抗為 ，負載阻抗為 ：

如下圖所示為非匹配性3階逆切比雪夫濾波器的綜合過程，衰減 ，紋波 ，帶寬為 ，源阻抗為 ，負載阻抗為 ：

不同濾波器類型零極點對比

切比雪夫濾波器和巴特沃斯濾波器

切比雪夫濾波器和巴特沃斯濾波器無零點，屬于全極點濾波器。

切比雪夫濾波器極點排布為一個橢圓，橢圓長短半軸比越大紋波越大，這也是容易理解的，低頻的極點越靠近虛軸，那么極點所帶來的影響越大，紋波也越大。當(dāng)紋波Ap特別小時，可以看到極點非常接近一個圓，這時濾波器就呈現(xiàn)巴特沃斯濾波器特性，所以從這點看巴特沃斯濾波器只是切比雪夫濾波器的一種特殊情況(即Ap=0，但是如果你用切比雪夫濾波器軟件來實現(xiàn)會出現(xiàn)錯誤，因為當(dāng)紋波Ap=0dB時，截止頻率Fp=0Hz，這種情況下軟件會報錯)。

切比雪夫濾波器當(dāng)階數(shù)和-3dB截止頻率位置一定時，不同紋波的濾波器其極點的虛軸坐標(biāo)位置不變。利用這一點可以通過頻響曲線鼓包來推測濾波器階數(shù)，切比雪夫濾波器的紋波起伏是怎么來的呢，其中的衰減最小點是由極點帶來的，因為每個極點都會在對應(yīng)的頻率點提供一個頻率鼓包，兩個頻率之間的位置上就有一個凹坑，頻響曲線上有多少個鼓包就有多少個對應(yīng)的極點，如上圖中的曲線在頻率響應(yīng)曲線上帶來了4個鼓包，那么就有4個極點對應(yīng)，由于在負頻率上有另外一半，減去0頻率上的多算的一個，濾波器階數(shù)即為4*2-1=7階。

逆切比雪夫濾波器

與前面切比雪夫濾波器類似，逆切比雪夫濾波器的零極點動畫如下：

圖中的藍色虛線是對應(yīng)的切比雪夫濾波器極點位置，是一個橢圓曲線，綠色虛線是巴特沃斯極點位置是一個圓，而逆切比雪夫濾波器的極點位置如圖紅色虛線所示，位置為切比雪夫濾波器極點關(guān)于圓的特殊對稱點，若以逆切比雪夫極點為起點過零點畫一條直線，那么這條直線必經(jīng)過對應(yīng)切比雪夫濾波器的一個極點，并且兩個極點到圓的距離呈現(xiàn)反比關(guān)系。

另外逆切比雪夫濾波器在阻帶衰減非常大時，這時零點位置比較遠，極點接近一個圓，這也反映了逆切比雪夫濾波器在通帶有最大平坦度這一特性。下圖所示的就是三種濾波器的零極點圖，只是這三個極點幾乎要重合為同一個圓了。

各位看官，到這里不知道大家有沒有考慮過若在上述情況下將極點位置由一個圓變?yōu)闄E圓會怎么樣？是不是這樣我們既可以在通帶等紋波又可以阻帶等紋波？對了，這也是我們下一回將要講到的橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計。

切比雪夫濾波器設(shè)計軟件

基于Matlab的appdesign工具開發(fā)了一套切比雪夫濾波器設(shè)計軟件，主要特點是：

• 支持切比雪夫濾波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設(shè)計
• 支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設(shè)計
• T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換
• 可以設(shè)置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)
• 可以設(shè)置通帶衰減來綜合濾波器
• 可以隨意配置負載和終端阻抗，并支持一端接載(源端電阻短路，源端電流源，終端開路，終端短路)設(shè)計
• 可以幅頻響應(yīng)分析、零極點分析、瞬態(tài)分析
• 可以顯示理想頻率響應(yīng)、零極點和實際仿真的的頻率響應(yīng)、零極點
• 可以支持實際標(biāo)準(zhǔn)器件逼近設(shè)計

切比雪夫LPF設(shè)計舉例

設(shè)計一款-3dB截止頻率為1GHz，7階低通Chebyshev濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設(shè)計過程如下：

最終設(shè)計參數(shù)如下：

零極點仿真結(jié)果：

逆切比雪夫BPF設(shè)計舉例

設(shè)計3階帶通逆切比雪夫濾波器(Chebyshev II)，中心頻率為1GHz，帶寬為500MHz，電流輸入，輸出阻抗為600歐姆，并且選擇E24系列器件進行綜合，最后進行瞬態(tài)仿真，設(shè)計過程如下：

最終設(shè)計參數(shù)如下(可以看到使用實際的E24系列電感和電容設(shè)計帶通濾波器頻率響應(yīng)和理論值偏差很大，這部分功能還有優(yōu)化空間)：

瞬態(tài)仿真結(jié)果：

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中 (https://github.com/etools361/MatlabChebyshevFilterDesignApp.git)，有興趣的同學(xué)可以下載試用體驗，當(dāng)然也歡迎技術(shù)交流。