分組碼,分組碼 是什么意思

分組碼是一組固定長度的碼組，可表示為（n , k），通常它用于前向糾錯(cuò)。在分組碼中，監(jiān)督位被加到信息位之后，形成新的碼。在編碼時(shí)，k個(gè)信息位被編為n位碼組長度，而n-k個(gè)監(jiān)督位的作用就是實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)與糾錯(cuò)。當(dāng)分組碼的信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系時(shí)，這種分組碼就稱為線性分組碼。

對于長度為n的二進(jìn)制線性分組碼，它有種可能的碼組，從種碼組中，可以選擇M= 個(gè)碼組（k個(gè)碼組構(gòu)成的碼集中選出來的，這樣剩下的碼組就可以對這個(gè)分組碼進(jìn)行檢錯(cuò)或糾錯(cuò)。

線性分組碼是建立在代數(shù)群論基礎(chǔ)之上的，各許用碼的集合構(gòu)成了代數(shù)學(xué)中的群，它們的主要性質(zhì)如下：

（1）任意兩許用碼之和（對于二進(jìn)制碼這個(gè)和的含義是模二和）仍為一許用碼，也就是說，線性分組碼具有封閉性；

（2）碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。

在8.2.1節(jié)中介紹的奇偶監(jiān)督碼，就是一種最簡單的線性分組碼，由于只有一位監(jiān)督位通常可以表示為（n,n-1），式（1）表示采用偶校驗(yàn)時(shí)的監(jiān)督關(guān)系。在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算：

（2）

其中， …表示接收到的信息位，表示接收到的監(jiān)督位，若S＝0，就認(rèn)為無錯(cuò)；若S＝1就認(rèn)為有錯(cuò)。式（2）被稱為監(jiān)督關(guān)系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”兩種狀態(tài)，因此，它只能表示有錯(cuò)和無錯(cuò)這兩種信息，而不能指出錯(cuò)碼的位置。

設(shè)想如果監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個(gè)類似于式（2）的監(jiān)督關(guān)系式，計(jì)算出兩個(gè)校正子和， 而共有4種組合：00，01，10，11，可以表示4種不同的信息。除了用00表示無錯(cuò)以外，其余3種狀態(tài)就可用于指示3種不同的誤碼圖樣。

同理，由r個(gè)監(jiān)督方程式計(jì)算得到的校正子有r位，可以用來指示 -1種誤碼圖樣。對于一位誤碼來說，就可以指示 -1個(gè)誤碼位置。對于碼組長度為n、信息碼元為k位、監(jiān)督碼元為r＝n - k位的分組碼（常記作（n，k）碼），如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來指示一位錯(cuò)碼的n種可能，則要求：

（3)

下面通過一個(gè)例子來說明線性分組碼是如何構(gòu)造的。設(shè)分組碼（n , k）中k = 4，為了能夠糾正一位錯(cuò)誤，由式（3）可以看到，要求r ≥ 3，若取r = 3，則n = k+r = 7。因此，可以用表示這7個(gè)碼元，用、、表示利用三個(gè)監(jiān)督方程，通過計(jì)算得到的校正子，并且假設(shè)、、 三位校正字碼組與誤碼位置的關(guān)系如表1（當(dāng)然，也可以規(guī)定成另一種對應(yīng)關(guān)系，這并不影響討論的一般性）：

由表中規(guī)定可已看到，僅當(dāng)一錯(cuò)碼位置在時(shí)，校正子為1；否則為0。這就意味著 四個(gè)碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：

(4a）

同理，構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：

（4b）

表1校正字與誤碼位置

以及構(gòu)成有數(shù)監(jiān)督關(guān)系：

（4c）

在發(fā)送端編碼時(shí)是信息碼元，它們的值取決于輸入信號，因此是隨機(jī)的。是監(jiān)督碼元，它們的取值由監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)使式（4）的三個(gè)表達(dá)式中的、 和的值為零（表示編成的碼組中應(yīng)無錯(cuò)碼），這樣式（4）的三個(gè)表達(dá)式可以表示成下面的方程組形式：

（5）

由上式經(jīng)移項(xiàng)運(yùn)算，接出監(jiān)督位

（6）

根據(jù)上面兩個(gè)線性關(guān)系，可以得到16個(gè)許用碼組如表2所示：

表2許用碼組

接收端收到每個(gè)碼組后，計(jì)算出、和，如不全為0，則可按表8-4確定誤碼的位置，然后予以糾正。例如，接收碼組為0000011，可算出 ＝011，由表8-4可知在 位置上有一誤碼。

不難看出，上述（7，4）碼的最小碼距，因此，它能糾正一個(gè)誤碼或檢測兩個(gè)誤碼。如超出糾錯(cuò)能力，則反而會(huì)因“亂糾”而增加新的誤碼。

監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G

式（5）所述（7，4）碼的三個(gè)監(jiān)督方程式可以重新改寫為如下形式：

（7）

對于式（7）可以用矩陣形式來表示：

（8）

上式可以記作：或 ，其中

（9a）

（9b）

（9c）

通常H稱為監(jiān)督矩陣，A稱為信道編碼得到的碼字。在這個(gè)例子中H為r×n階矩陣，P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣，具有這種特性的H矩陣稱為典型監(jiān)督矩陣，這是一種較為簡單的信道編譯碼方式。典型形式的監(jiān)督矩陣各行是線性無關(guān)的，非典型形式的監(jiān)督矩陣可以經(jīng)過行或列的運(yùn)算化為典型形式。

對于式（6）也可以用矩陣形式來表示：

或者

（10）

比較式（9a）和式（10）可以看到 ，如果在Q矩陣的左邊在加上一個(gè)k×k的單位矩陣，就形成了一個(gè)新矩陣G:

（11）

這里G稱為生成矩陣，利用它可以產(chǎn)生整個(gè)碼組

（12）

由式（11）表示的生成矩陣形式稱為典型生成矩陣，利用式（12）產(chǎn)生的分組碼必為系統(tǒng)碼，也就是信息碼元保持不變，監(jiān)督碼元附加在其后。

校驗(yàn)子S

在發(fā)送端信息碼元M利用式（12），實(shí)現(xiàn)信道編碼，產(chǎn)生線性分組碼A；在傳輸過程中有可能出現(xiàn)誤碼，設(shè)接收到的碼組為B。則收發(fā)碼組之差為：

（13）

這里，，表示i位有錯(cuò)，，表示i位無錯(cuò)。基于這樣的原則接收端利用接收到的碼組B計(jì)算校正子：

（14）

因此，校正子僅與E有關(guān)，即錯(cuò)誤圖樣與校正子之間有確定的關(guān)系。

對于上述（7，4）碼，校正子S與錯(cuò)誤圖樣的對應(yīng)關(guān)系可由式（14）求得，其計(jì)算結(jié)果見表3所示。在接收端的譯碼器中有專門的校正子計(jì)算電路，從而實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。

表3（7，4）碼校正子與錯(cuò)誤圖樣的對應(yīng)關(guān)系

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