分組碼是一組固定長(zhǎng)度的碼組，可表示為（n , k），通常它用于前向糾錯(cuò)。在分組碼中，監(jiān)督位被加到信息位之后，形成新的碼。在編碼時(shí)，k個(gè)信息位被編為n位碼組長(zhǎng)度，而n-k個(gè)監(jiān)督位的作用就是實(shí)現(xiàn)檢錯(cuò)與糾錯(cuò)。當(dāng)分組碼的信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系時(shí)，這種分組碼就稱為線性分組碼。

對(duì)于長(zhǎng)度為n的二進(jìn)制線性分組碼，它有種可能的碼組，從種碼組中，可以選擇M=個(gè)碼組（k個(gè)碼組構(gòu)成的碼集中選出來(lái)的，這樣剩下的碼組就可以對(duì)這個(gè)分組碼進(jìn)行檢錯(cuò)或糾錯(cuò)。

線性分組碼是建立在代數(shù)群論基礎(chǔ)之上的，各許用碼的集合構(gòu)成了代數(shù)學(xué)中的群，它們的主要性質(zhì)如下：

（1）任意兩許用碼之和（對(duì)于二進(jìn)制碼這個(gè)和的含義是模二和）仍為一許用碼，也就是說(shuō)，線性分組碼具有封閉性；

（2）碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。

在8.2.1節(jié)中介紹的奇偶監(jiān)督碼，就是一種最簡(jiǎn)單的線性分組碼，由于只有一位監(jiān)督位通常可以表示為（n,n-1），式（1）表示采用偶校驗(yàn)時(shí)的監(jiān)督關(guān)系。在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算：

（2）

其中， …表示接收到的信息位，表示接收到的監(jiān)督位，若S＝0，就認(rèn)為無(wú)錯(cuò)；若S＝1就認(rèn)為有錯(cuò)。式（2）被稱為監(jiān)督關(guān)系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”兩種狀態(tài)，因此，它只能表示有錯(cuò)和無(wú)錯(cuò)這兩種信息，而不能指出錯(cuò)碼的位置。

設(shè)想如果監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個(gè)類似于式（2）的監(jiān)督關(guān)系式，計(jì)算出兩個(gè)校正子和， 而共有4種組合：00，01，10，11，可以表示4種不同的信息。除了用00表示無(wú)錯(cuò)以外，其余3種狀態(tài)就可用于指示3種不同的誤碼圖樣。

同理，由r個(gè)監(jiān)督方程式計(jì)算得到的校正子有r位，可以用來(lái)指示 -1種誤碼圖樣。對(duì)于一位誤碼來(lái)說(shuō)，就可以指示-1個(gè)誤碼位置。對(duì)于碼組長(zhǎng)度為n、信息碼元為k位、監(jiān)督碼元為r＝n - k位的分組碼（常記作（n，k）碼），如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示一位錯(cuò)碼的n種可能，則要求：

(3)

下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明線性分組碼是如何構(gòu)造的。設(shè)分組碼（n , k）中k = 4，為了能夠糾正一位錯(cuò)誤，由式（3）可以看到，要求r ≥ 3，若取r = 3，則n = k+r = 7。因此，可以用表示這7個(gè)碼元，用、、表示利用三個(gè)監(jiān)督方程，通過(guò)計(jì)算得到的校正子，并且假設(shè)、 、三位校正字碼組與誤碼位置的關(guān)系如表1（當(dāng)然，也可以規(guī)定成另一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，這并不影響討論的一般性）：

由表中規(guī)定可已看到，僅當(dāng)一錯(cuò)碼位置在時(shí)，校正子為1；否則為0。這就意味著 四個(gè)碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：

(4a)

同理，構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：

（4b）

表1校正字與誤碼位置

以及構(gòu)成有數(shù)監(jiān)督關(guān)系：

（4c）

在發(fā)送端編碼時(shí)是信息碼元，它們的值取決于輸入信號(hào)，因此是隨機(jī)的。是監(jiān)督碼元，它們的取值由監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定，即監(jiān)督位應(yīng)使式（4）的三個(gè)表達(dá)式中的、和的值為零（表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼），這樣式（4）的三個(gè)表達(dá)式可以表示成下面的方程組形式：

（5）

由上式經(jīng)移項(xiàng)運(yùn)算，接出監(jiān)督位

（6）

根據(jù)上面兩個(gè)線性關(guān)系，可以得到16個(gè)許用碼組如表2所示：

表2許用碼組

接收端收到每個(gè)碼組后，計(jì)算出 、和，如不全為0，則可按表8-4確定誤碼的位置，然后予以糾正。例如，接收碼組為0000011，可算出 ＝011，由表8-4可知在 位置上有一誤碼。

不難看出，上述（7，4）碼的最小碼距，因此，它能糾正一個(gè)誤碼或檢測(cè)兩個(gè)誤碼。如超出糾錯(cuò)能力，則反而會(huì)因“亂糾”而增加新的誤碼。