簡 介：這學期的信號與系統進展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用，所以將其替換成 z 變換進行描述，則在分析求解過程中會更加的清晰。
關鍵詞：z變換，DFT，電阻網絡

01電阻網絡

一、問題來源

在網文 Infinite Ladder of 1Ω of Resistor[1]中討論了如下無窮電阻網絡兩個相鄰節點之間的電阻。特別有意思的是，文中還是用了離散傅里葉變換（DFT）給出了另外一種求解方式。這不禁讓人們好奇：在這樣的電阻網絡分析中，離散傅里葉變換到底起到什么作用？

▲ 圖1.1 一歐姆組成的無線電阻網絡

二、問題求解

1、普通求解方法

▲ 圖1.1.4 相鄰節點之間的等效電阻

2、離散傅里葉求解

▲ 圖1.1.5 每個節點對應的電壓與電流

▲ 圖1.1.6 在相鄰兩個節點施加正負1A電流激勵

三、利用Z變換求解

1、z變換方程

2、留數定理求取積分

上述積分通過留數定理進行求取。積分公式中包含有三個極點

根據上述分析，可以知道積分號中的被積函數的收斂域只能如下圖所示。

▲ 圖1.3.1 積分式內函數的收斂域

所以，對應的圍線積分的路徑中只包含有兩個極點。這兩個極點對應的留數分別為

所以相鄰節點之間的電阻為：

02DFT與ZT

??可以看到最后計算時，利用留數定理計算最終的積分值比較方便，避免了比較復雜的三角函數的積分計算。但在分析被積函數的收斂域的時候，需要比較小心。

※總??結 ※

這學期的信號與系統進展到第五章，拉普拉斯變換與 z 變換。前幾天看到一篇博文中對于無限電阻網絡求解相鄰節點阻抗中使用了離散傅里葉變換 (DFT) 的方法比較新穎。分析了DFT在其中僅僅是起到描述線性時不變離散時間系統的作用，所以將其替換成 z 變換進行描述，則在分析求解過程中會更加的清晰。

作者：TsinghuaJoking
文章來源：卓晴

審核編輯 黃昊宇