麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組（英語：Maxwell's equations）是英國物理學家麥克斯韋在19世紀建立的描述電磁場的基本方程組。

它含有四個方程，不僅分別描述了電場和磁場的行為，描述了它們之間的關系。

在麥克斯韋方程組中，電場和磁場已經成為一個不可分割的整體。

該方程組系統而完整地概括了電磁場的基本規律，并預言了電磁波的存在。

麥克斯韋提出的渦旋電場和位移電流假說的核心思想是：

變化的磁場可以激發渦旋電場，變化的電場可以激發渦旋磁場；

電場和磁場不是彼此孤立的，它們相互聯系、相互激發組成一個統一的電磁場

（也是電磁波的形成原理）。

麥克斯韋進一步將電場和磁場的所有規律綜合起來，建立了完整的電磁場理論體系。

這個電磁場理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。

麥克斯韋方程組，是英國物理學家詹姆斯·麥克斯韋在19世紀建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關系的偏微分方程。

從麥克斯韋方程組，可以推論出光波是電磁波。

麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經典電磁學的基礎方程。

從這些基礎方程的相關理論，發展出現代的電力科技與電子科技。

麥克斯韋1865年提出的最初形式的方程組由20個等式和20個變量組成。

他在1873年嘗試用四元數來表達，但未成功。

現在所使用的數學形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達的。

麥克斯韋方程組的地位

麥克斯韋方程組在電磁學中的地位，如同牛頓運動定律在力學中的地位一樣。

以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經典物理學最引以自豪的成就之一。

它所揭示出的電磁相互作用的完美統一，為物理學家樹立了這樣一種信念：

物質的各種相互作用在更高層次上應該是統一的。

另外，這個理論被廣泛地應用到技術領域。

1845年，關于電磁現象的三個最基本的實驗定律：

庫侖定律（1785年）;

安培—畢奧—薩伐爾定律（1820年）;

法拉第定律（1831-1845年）已被總結出來;

法拉第的“電力線”和“磁力線”概念已發展成“電磁場概念”。

場概念的產生，也有麥克斯韋的一份功勞，這是當時物理學中一個偉大的創舉，因為正是場概念的出現，使當時許多物理學家得以從牛頓“超距觀念”的束縛中擺脫出來，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。

1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫侖定律、安培—畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎上，把數學分析方法帶進了電磁學的研究領域，由此導致麥克斯韋電磁理論的誕生。

麥克斯韋方程組的積分形式:

（1）描述了電場的性質。

電荷是如何產生電場的高斯定理。

（靜電場的高斯定理）

電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。

電場E （矢量）通過任一閉曲面的通量，即對該曲面的積分等于4π乘以該曲面所包圍的總電荷量。

靜電場（見電場）的基本方程之一，它給出了電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內的總電量之間的關系。

根據庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內電荷的代數和，

通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數和與電常數之比。

電場強度對任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內電荷的代數和，與曲面內電荷的分布情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。

在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數和。

當存在介質時,Σq應理解為包圍在封閉曲面內的自由電荷和極化電荷的總和。

在靜電場中，由于自然界中存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內有凈余的正（或負）電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；

高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性。

凡是有正電荷的地方，必有電力線發出；凡是有負電荷的地方，必有電力線會聚。

正電荷是電力線的源頭，負電荷是電力線的尾閭。

高斯定理是從庫侖定律直接導出的，它完全依賴于電荷間作用力的二次方反比律。

把高斯定理應用于處在靜電平衡條件下的金屬導體，就得到導體內部無凈電荷的結論，因而測定導體內部是否有凈電荷是檢驗庫侖定律的重要方法。

對于某些對稱分布的電場,如均勻帶電球的電場,無限大均勻帶電面的電場以及無限長均勻帶電圓柱的電場，可直接用高斯定理計算它們的電場強度。

電位移對任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱電通密度。

（2）描述了變化的磁場激發電場的規律。

磁場是如何產生電場的法拉第電磁感應定律。

（靜電場的環路定理）

在沒有自由電荷的空間，由變化磁場激發的渦旋電場的電場線是一系列的閉合曲線。

在一般情況下，電場可以是庫侖電場也可以是變化磁場激發的感應電場，而感應電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻。

麥克斯韋提出的渦旋電場的概念，揭示出變化的磁場可以在空間激發電場，并通過法拉第電磁感應定律得出了二者的關系，上式表明，任何隨時間而變化的磁場，都是和渦旋電場聯系在一起的。

（3）描述了磁場的性質。

論述了磁單極子的不存在的高斯磁定律

（穩恒磁場的高斯定理）

在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零。

由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。

這個規律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。

（4）描述了變化的電場激發磁場的規律。

電流和變化的電場是怎樣產生磁場的麥克斯韋-安培定律。

（磁場的安培環路定理）

變化的電場產生的磁場和傳導電流產生的磁場相同，都是渦旋狀的場，磁感線是閉合線。因此，磁場的高斯定理仍適用。

在穩恒磁場中，磁感強度H沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個電流之代數和。

磁場可以由傳導電流激發，也可以由變化電場的位移電流所激發，它們的磁場都是渦旋場，磁感應線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻。

麥克斯韋提出的位移電流的概念，揭示出變化的電場可以在空間激發磁場，并通過全電流概念的引入，得到了一般形式下的安培環路定理在真空或介質中的表示形式，上式表明，任何隨時間而變化的電場，都是和磁場聯系在一起的。

合體：

式中H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通密度。

在采用其他單位制時,方程中有些項將出現一常數因子,如光速c等。

上面四個方程組成：

描述電荷如何產生電場的高斯定律、

描述時變磁場如何產生電場的法拉第感應定律、

論述磁單極子不存在的高斯磁定律、

描述電流和時變電場怎樣產生磁場的麥克斯韋-安培定律。

綜合上述可知，變化的電場和變化的磁場彼此不是孤立的，它們永遠密切地聯系在一起，相互激發，組成一個統一的電磁場的整體。

這就是麥克斯韋電磁場理論的基本概念。

麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區域的電磁場量(D、E、B、H)和場源(電荷q、電流I)之間的關系。

麥克斯韋方程組微分形式：

式中J為電流密度,，ρ為電荷密度。

H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通密度。

上圖分別表示為：

（1）磁場強度的旋度（全電流定律）等于該點處傳導電流密度 與位移電流密度 的矢量和；
（2）電場強度的旋度（法拉第電磁感應定律）等于該點處磁感強度變化率的負值；
（3）磁感強度的散度處處等于零 （磁通連續性原理） 。
（4）電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。

在電磁場的實際應用中，經常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關系。

從數學形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。

上面的微分形式分別表示：

（1）電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。
（2）磁感強度的散度處處等于零 （磁通連續性原理） 。
（3）電場強度的旋度（法拉第電磁感應定律）等于該點處磁感強度變化率的負值；
（4）磁場強度的旋度（全電流定律）等于該點處傳導電流密度 與位移電流密度 的矢量和；

利用矢量分析方法，可得：

(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程有同樣的形式。
(2) 應用麥克斯韋方程組解決實際問題，還要考慮介質對電磁場的影響。
例如在各向同性介質中，電磁場量與介質特性量有下列關系：
在非均勻介質中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關系。
在利用t=0時場量的初值條件，原則上可以求出任一時刻空間任一點的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

科學意義

經典場論是19世紀后期麥克斯韋在總結電磁學三大實驗定律，并把它與力學模型進行類比的基礎上創立起來的。

但麥克斯韋的主要功績恰恰是他能夠跳出經典力學框架的束縛：

在物理上以"場"而不是以"力"作為基本的研究對象，在數學上引入了有別于經典數學的矢量偏微分運算符。

這兩條是發現電磁波方程的基礎。

這就是說，實際上麥克斯韋的工作已經沖破經典物理學和經典數學的框架，只是由于當時的歷史條件，人們仍然只能從牛頓的經典數學和力學的框架去理解電磁場理論。

現代數學，Hilbert空間中的數學分析是在19世紀與20世紀之交的時候才出現的。

而量子力學的物質波的概念則在更晚的時候才被發現，特別是對于現代數學與量子物理學之間的不可分割的數理邏輯聯系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。

從麥克斯韋建立電磁場理論到現在，人們一直以歐氏空間中的經典數學作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。

我們從麥克斯韋方程組的產生,形式,內容和它的歷史過程中可以看到：

第一，物理對象是在更深的層次上發展成為新的公理表達方式而被人類所掌握，所以科學的進步不會是在既定的前提下演進的，一種新的具有認識意義的公理體系的建立才是科學理論進步的標志。

第二，物理對象與對它的表達方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達方法就無法認識到這個對象的"存在"。

第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實,這正是現代最前沿的物理學所給我們帶來的困惑。

麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉化中產生的對稱性優美，這種優美以現代數學形式得到充分的表達。

但是，我們一方面應當承認，恰當的數學形式才能充分展示經驗方法中看不到的整體性(電磁對稱性)，但另一方面，我們也不應當忘記，這種對稱性的優美是以數學形式反映出來的電磁場的統一本質。

因此我們應當認識到應在數學的表達方式中"發現"或"看出" 了這種對稱性，而不是從物理數學公式中直接推演出這種本質。

審核編輯：郭婷