使用史密斯圖進(jìn)行射頻阻抗匹配的教程。示例顯示了繪制反射系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的示例。MAX2472的樣本匹配網(wǎng)絡(luò)采用圖形方法設(shè)計(jì)為900MHz。

經(jīng)過驗(yàn)證，史密斯圖仍然是確定傳輸線阻抗的基本工具。

在處理RF應(yīng)用的實(shí)際實(shí)現(xiàn)時，總有一些噩夢般的任務(wù)。一是需要匹配互連塊的不同阻抗。通常包括天線到低噪聲放大器 （LNA）、功率放大器輸出 （RFOUT） 到天線以及 LNA/VCO 輸出到混頻器輸入。匹配任務(wù)是將信號和能量從“源”正確傳輸?shù)健柏?fù)載”所必需的。

在高射頻下，雜散元件（如導(dǎo)線電感、層間電容和導(dǎo)體電阻）對匹配網(wǎng)絡(luò)具有重大但不可預(yù)測的影響。在幾十兆赫茲以上，理論計(jì)算和模擬往往是不夠的。在確定適當(dāng)?shù)淖罱K值時，必須考慮原位射頻實(shí)驗(yàn)室測量以及調(diào)諧工作。需要計(jì)算值來設(shè)置結(jié)構(gòu)類型和目標(biāo)組件值。

有許多方法可以進(jìn)行阻抗匹配，包括：

計(jì)算機(jī)模擬：復(fù)雜但易于使用，因?yàn)榇祟惸M器專用于不同的設(shè)計(jì)功能，而不是阻抗匹配。設(shè)計(jì)人員必須熟悉需要輸入的多個數(shù)據(jù)輸入和正確的格式。他們還需要專業(yè)知識，以便在大量結(jié)果中找到有用的數(shù)據(jù)。此外，電路仿真軟件不會預(yù)先安裝在計(jì)算機(jī)上，除非它們專用于此類應(yīng)用程序。

手動計(jì)算：由于方程的長度（“公里”）和要操作的數(shù)字的復(fù)雜性，因此很乏味。

本能：只有在一個人在射頻行業(yè)投入多年后才能獲得。簡而言之，這是給超級專家的。

史密斯圖： 本文集中討論的內(nèi)容。

本文的主要目的是回顧史密斯圖的結(jié)構(gòu)和背景，并總結(jié)其使用的實(shí)際方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際說明，例如查找匹配的網(wǎng)絡(luò)組件值。當(dāng)然，匹配最大功率傳輸并不是我們唯一可以用史密斯圖做的事情。它們還可以幫助設(shè)計(jì)人員完成優(yōu)化最佳噪聲系數(shù)、確保品質(zhì)因素影響和評估穩(wěn)定性分析等任務(wù)。

圖1.阻抗和史密斯圖的基本原理。

快速入門

在介紹史密斯圖實(shí)用程序之前，謹(jǐn)慎的做法是簡要回顧一下RF條件下（100MHz以上）IC布線的波傳播現(xiàn)象。這對于意外情況可能有效，例如RS-485線路、PA和天線之間、LNA和下變頻器/混頻器之間等。

眾所周知，為了獲得從電源到負(fù)載的最大功率傳輸，源阻抗必須等于負(fù)載阻抗的復(fù)共軛，或者：

RS+ jXS= RL- jXL

圖2.R 的示意圖S+ jXS= RL- jXL.

在這種情況下，從電源到負(fù)載的能量最大化。此外，為了進(jìn)行有效的電力傳輸，需要此條件以避免能量從負(fù)載反射回電源。對于視頻線、射頻和微波網(wǎng)絡(luò)等高頻環(huán)境尤其如此。

它是什么

史密斯圖是一個圓形圖，上面有很多交錯的圓圈。如果使用得當(dāng)，無需任何計(jì)算即可匹配具有明顯復(fù)雜結(jié)構(gòu)的阻抗。唯一需要的努力是沿圓圈讀取和跟蹤值。

史密斯圖是復(fù)反射系數(shù)（也稱為伽馬，用Γ符號化）的極坐標(biāo)圖。或者，它在數(shù)學(xué)上定義為 1 端口散射參數(shù) s 或 s11.

史密斯圖是通過檢查阻抗必須匹配的負(fù)載來開發(fā)的。您不是直接考慮其阻抗，而是表示其反射系數(shù)ΓL，用于表征負(fù)載（如導(dǎo)納、增益和跨導(dǎo)）。The ΓL在處理射頻頻率時更有用。

我們知道反射系數(shù)定義為反射電壓波和入射電壓波之間的比率：

圖3.負(fù)載阻抗。

來自負(fù)載的反射信號量取決于源阻抗和負(fù)載阻抗之間的不匹配程度。其表達(dá)式定義如下：

因?yàn)樽杩故菑?fù)數(shù)，所以反射系數(shù)也是一個復(fù)數(shù)。

為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，凍結(jié)應(yīng)用程序中經(jīng)常出現(xiàn)且常見的參數(shù)很有用。這里 Z0（特性阻抗）通常是一個常數(shù)和實(shí)際的工業(yè)歸一化值，例如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。然后，我們可以通過以下方式定義歸一化負(fù)載阻抗：

通過這種簡化，我們可以將反射系數(shù)公式重寫為：

在這里，我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)之間的直接關(guān)系。不幸的是，關(guān)系的復(fù)雜性在實(shí)際中沒有用，因此我們可以將史密斯圖用作上述方程的一種圖形表示。

要構(gòu)建圖表，必須重寫方程以提取標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形（如圓或雜散線）。

首先，將等式 2.3 反轉(zhuǎn)，得到：

和

通過將等式 2.5 的實(shí)部和虛部相等，我們得到了兩個獨(dú)立的新關(guān)系：

然后，通過將方程2.6至2.8發(fā)展為最終方程2.13來操縱等式2.14。該方程是以坐標(biāo) [r/（r + 1）， 0] 為中心且半徑為 1/（1 + r） 的圓的復(fù)平面 （Γr， Γi） 中的參數(shù)方程 （x - a）2 + （y - b）2 = R2 形式的關(guān)系。

有關(guān)更多詳細(xì)信息，請參見圖 4a。

圖 4a.位于圓上的點(diǎn)是所有阻抗，其特征是相同的實(shí)際阻抗部分值。例如，圓 r = 1 以坐標(biāo) （0.5， 0） 為中心，半徑為 0.5。它包括點(diǎn)（0，0），這是反射零點(diǎn)（負(fù)載與特性阻抗匹配）。短路作為負(fù)載，呈現(xiàn)一個以坐標(biāo) （0， 0） 為中心的圓，半徑為 1。對于開路負(fù)載，圓退化為單個點(diǎn)（以 1， 0 為中心，半徑為 0）。這對應(yīng)于最大反射系數(shù) 1，此時整個入射波被完全反射。

在開發(fā)史密斯圖時，應(yīng)注意某些預(yù)防措施。這些是最重要的：

所有圓在坐標(biāo) （1， 0） 處都有一個相同的唯一相交點(diǎn)。

沒有阻力 （r = 0） 的零Ω圓是最大的一個。

無限電阻圓在（1， 0）處減小到一個點(diǎn)。

不應(yīng)該有負(fù)阻力。如果發(fā)生一個（或多個），我們將面臨振蕩條件的可能性。

只需選擇與新值相對應(yīng)的另一個圓圈即可選擇另一個電阻值。

從頭再來

繼續(xù)，我們使用等式 2.15 到 2.18 將等式 2.7 進(jìn)一步發(fā)展為另一個參數(shù)方程。這導(dǎo)致等式2.19。

同樣，2.19 是以坐標(biāo) （1， 1/x） 為中心且半徑為 1/x 的圓的復(fù)平面 （Γr， Γi） 中類型 （x - a）2 + （y - b）2 = R2 的參數(shù)方程。

有關(guān)更多詳細(xì)信息，請參見圖 4b。

圖 4b.位于圓上的點(diǎn)是所有由相同的假想阻抗部分值x表征的阻抗。例如，圓 × = 1 以坐標(biāo) （1， 1） 為中心，半徑為 1。所有圓（常量 x）都包含點(diǎn) （1， 0）。與實(shí)部圓不同，×可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)。這解釋了復(fù)平面底部的重復(fù)鏡像圓。所有圓心都放置在垂直軸上，與點(diǎn) 1 相交。

明白了嗎？

為了完成我們的史密斯圖，我們疊加了兩個圓圈的族。然后可以看出，一個家庭的所有圓圈將與另一個家庭的所有圓圈相交。知道阻抗，以r+jx的形式，可以確定相應(yīng)的反射系數(shù)。只需要找到對應(yīng)于值 r 和 x 的兩個圓的交點(diǎn)。

這也是互惠

反向操作也是可能的。知道反射系數(shù)，找到在該點(diǎn)相交的兩個圓，并在圓上讀取相應(yīng)的值 r 和 ×。此過程如下：

確定阻抗作為史密斯圖上的一個點(diǎn)。

找到阻抗的反射系數(shù) （Γ）。

具有特性阻抗和Γ，找到阻抗。

將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納。

找到等效阻抗。

找到所需反射系數(shù)的分量值（特別是匹配網(wǎng)絡(luò)的元素，請參見圖 7）。

要推斷

由于史密斯圖解析技術(shù)基本上是一種圖形方法，因此解決方案的精度直接取決于圖形定義。下面是一個可以用史密斯圖表示的射頻應(yīng)用示例：

例：考慮50Ω端接的特性阻抗和以下阻抗：

Z1= 100 + j50Ω	Z2= 75 - j100Ω	Z3= j200Ω	Z4= 150Ω
Z5= ∞ （開路）	Z6= 0（短路）	Z7= 50Ω	Z8= 184 - j900Ω

然后，歸一化并繪制圖（參見圖 5）。這些點(diǎn)的繪制方式如下：

z1= 2 + j	z2= 1.5 - j2	z3= j4	z4= 3
z5= 8	z6= 0	z7= 1	z8= 3.68 - j18

對于更大的圖像 （PDF）

圖5.在史密斯圖表上繪制的點(diǎn)。

現(xiàn)在可以直接提取圖5的史密斯圖上的反射系數(shù)Γ。繪制阻抗點(diǎn)（恒定電阻圓和恒定電抗圓的交點(diǎn)）后，只需讀取水平軸和垂直軸上的矩形坐標(biāo)投影即可。這將得到反射系數(shù)的實(shí)部Γr和反射系數(shù)的虛部Γi（見圖6）。

也可以采用示例中介紹的八個案例，并直接從圖 6 的史密斯圖中提取其相應(yīng)的Γ。這些數(shù)字是：

Γ1= 0.4 + 0.2j	Γ2= 0.51 - 0.4j	Γ3= 0.875 + 0.48j	Γ4= 0.5
Γ5= 1	Γ6= -1	Γ7= 0	Γ8= 0.96 - 0.1j

圖6.沿 X-Y 軸直接提取反射系數(shù)Γ實(shí)數(shù)和虛部。

使用準(zhǔn)入

史密斯圖是通過考慮阻抗（電阻和電抗）來構(gòu)建的。一旦建立了史密斯圖，它就可以用于分析串聯(lián)和平行世界中的這些參數(shù)。在系列中添加元素非常簡單。可以添加新元素，并通過簡單地沿著圓移動到其各自的值來確定其效果。但是，并行對元素求和是另一回事。這需要考慮其他參數(shù)。通常，在導(dǎo)納世界中使用并行元素更容易。

我們知道，根據(jù)定義，Y = 1/Z 和 Z = 1/Y。準(zhǔn)入以 mhos 或 Ω 表示-1，雖然現(xiàn)在表示為西門子或 S。而且，由于 Z 是復(fù)雜的，因此 Y 也必須是復(fù)雜的。

因此，Y = G + jB （2.20），其中G稱為“電導(dǎo)”，B稱為元素的“敏感性”。不過，謹(jǐn)慎行事很重要。通過遵循邏輯假設(shè)，我們可以得出結(jié)論，G = 1/R 和 B = 1/X。然而，情況并非如此。如果使用此假設(shè)，則結(jié)果將不正確。

使用導(dǎo)納時，我們必須做的第一件事是歸一化 y = Y/Y0.這導(dǎo)致 y = g + jb。那么，反射系數(shù)會發(fā)生什么變化呢？通過以下工作：

事實(shí)證明，G 的表達(dá)式與 z 相反，Γ（y） = -Γ（z）。

如果我們知道 z，我們可以反轉(zhuǎn)Γ的符號并找到一個距離 （0， 0） 相同距離但方向相反的點(diǎn)。通過圍繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180° 角度可以獲得相同的結(jié)果（見圖 7）。

圖7.180°旋轉(zhuǎn)的結(jié)果。

當(dāng)然，雖然 Z 和 1/Y 確實(shí)表示相同的分量，但新點(diǎn)顯示為不同的阻抗（新值在史密斯圖中具有不同的點(diǎn)和不同的反射值，依此類推）。發(fā)生這種情況是因?yàn)樵搱D是阻抗圖。但新的一點(diǎn)，實(shí)際上是一種承認(rèn)。因此，圖表上讀取的值必須讀取為西門子。

雖然這種方法足以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但在并行處理元件時，它不適用于確定電路分辨率。

導(dǎo)納史密斯圖

在前面的討論中，我們看到阻抗史密斯圖上的每個點(diǎn)都可以通過圍繞Γ復(fù)平面的原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180° 來轉(zhuǎn)換為其導(dǎo)納對應(yīng)物。因此，通過將整個阻抗史密斯控制圖旋轉(zhuǎn)180°可以獲得導(dǎo)納史密斯圖。這非常方便，因?yàn)樗藰?gòu)建另一個圖表的必要性。所有圓的交點(diǎn)（恒定電導(dǎo)和恒定置射）自動位于點(diǎn) （-1， 0）。有了這個情節(jié)，并行添加元素也變得更加容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納史密斯圖的構(gòu)造由以下公式創(chuàng)建：

然后，反轉(zhuǎn)等式：

接下來，通過將等式 3.3 的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個新的獨(dú)立關(guān)系：

通過開發(fā)等式3.4，我們得到以下結(jié)果：

它又是圓的復(fù)平面 （Γr， Γi） 中類型 （x - a）2 + （y - b）2 = R2 （方程 3.12） 的參數(shù)方程，其坐標(biāo)以 [-g/（g + 1）， 0] 為中心，半徑為 1/（1 + g）。

此外，通過開發(fā)等式3.5，我們表明：

這又是類型 （x - a）2 + （y - b）2 = R2 的參數(shù)方程（方程 3.17）。

等效阻抗分辨率

在解決串聯(lián)和并聯(lián)元素混合在一起的問題時，我們可以使用相同的史密斯圖，并圍繞存在從 z 到 y 或 y 到 z 的轉(zhuǎn)換的任何點(diǎn)旋轉(zhuǎn)它。

讓我們考慮圖 8 的網(wǎng)絡(luò)（元素使用 Z 歸一化0= 50Ω).串聯(lián)電抗（x）對于電感為正，對于電容為負(fù)。磁化率（b）對電容為正，對電感為負(fù)。

圖8.多元件電路。

電路需要簡化（見圖9）。從右側(cè)開始，那里有一個電阻器和一個值為1的電感，我們繪制一個系列點(diǎn)，其中r圓= 1，l圓= 1。這成為A點(diǎn)。由于下一個元素是分流（平行）中的元素，我們切換到導(dǎo)納史密斯控制圖（通過將整個平面旋轉(zhuǎn) 180°）。但是，要做到這一點(diǎn)，我們需要將前一點(diǎn)轉(zhuǎn)換為準(zhǔn)入。這變成了 A'。然后我們將平面旋轉(zhuǎn) 180°。我們現(xiàn)在處于準(zhǔn)入模式。分流元件可以通過沿電導(dǎo)圈移動對應(yīng)于0.3的距離來添加。這必須以逆時針方向（負(fù)值）完成，并給出點(diǎn) B。然后我們還有另一個系列元素。我們再次切換回阻抗史密斯圖。

圖9.圖 8 的網(wǎng)絡(luò)及其元素進(jìn)行了細(xì)分分析。

在執(zhí)行此操作之前，再次有必要將前一點(diǎn)重新轉(zhuǎn)換為阻抗（這是導(dǎo)納）。轉(zhuǎn)換后，我們可以確定 B'。使用先前建立的例程，圖表再次旋轉(zhuǎn) 180° 以返回到阻抗模式。串聯(lián)元件是沿著電阻圈沿著對應(yīng)于1.4的距離和標(biāo)記點(diǎn)C相加的。這需要逆時針完成（負(fù)值）。對于下一個元素，將執(zhí)行相同的操作（轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納和平面旋轉(zhuǎn)）。然后沿恒定電導(dǎo)圈順時針方向移動規(guī)定的距離（1.1）（因?yàn)樵撝禐檎Ｎ覀儗⑵錁?biāo)記為 D。最后，我們重新轉(zhuǎn)換回阻抗模式并添加最后一個元件（串聯(lián)電感）。然后，我們確定位于電阻圓 0.2 和電抗圓 0.5 的交點(diǎn)處的所需值 z。因此，z 被確定為 0.2 + j0.5。如果系統(tǒng)特性阻抗為50Ω，則Z = 10 + j25Ω（見圖10）。

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圖 10.繪制在史密斯圖上的網(wǎng)絡(luò)元素。

按步驟匹配阻抗

史密斯圖的另一個功能是能夠確定阻抗匹配。這是查找給定網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗的反向操作。此處，阻抗固定在兩個接入端（通常是源極和負(fù)載），如圖11所示。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個在它們之間插入的網(wǎng)絡(luò)，以便進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖杩蛊ヅ洹?/p>

圖 11.具有已知阻抗和未知元件的代表電路。

乍一看，這似乎并不比找到等效阻抗更困難。但問題是，可以存在無限數(shù)量的匹配網(wǎng)絡(luò)組件組合，從而產(chǎn)生類似的結(jié)果。可能還需要考慮其他輸入（例如濾波器類型結(jié)構(gòu)、質(zhì)量因數(shù)和有限的組件選擇）。

為此選擇的方法需要在史密斯圖上添加串聯(lián)和分流元件，直到達(dá)到所需的阻抗。從圖形上看，它似乎找到了一種鏈接史密斯圖上的點(diǎn)的方法。同樣，說明該方法的最佳方法是以需求為例。

目標(biāo)是匹配源阻抗（ZS） 到負(fù)載 （Z）L）的工作頻率為60MHz（見圖11）。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已固定為低通，L型（另一種方法是將問題視為如何強(qiáng)制負(fù)載顯示為值= Z的阻抗S，Z 的復(fù)共軛物S).以下是找到解決方案的方法。

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圖 12.圖 11 的網(wǎng)絡(luò)及其點(diǎn)繪制在史密斯圖上。

首先要做的是規(guī)范化不同的阻抗值。如果未給出，請選擇與荷載/源值在相同范圍內(nèi)的值。假設(shè) Z0為50Ω。因此 zS= 0.5 - j0.3， z*S= 0.5 + j0.3，并且zL= 2 - j0.5。

接下來，在圖表上定位兩個點(diǎn)。標(biāo)記 A 表示 zL和 D 表示 z*S.

然后確定連接到負(fù)載的第一個元件（并聯(lián)中的電容器）并轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納。這給了我們A'點(diǎn)。

確定電容器C連接后下一個點(diǎn)將出現(xiàn)的電弧部分。由于我們不知道C的值，因此我們不知道在哪里停止。然而，我們確實(shí)知道方向。分流中的 C 表示在導(dǎo)納史密斯控制圖上沿順時針方向移動，直到找到該值。這將是B點(diǎn)（準(zhǔn)入）。由于下一個元件是串聯(lián)元件，因此必須將B點(diǎn)轉(zhuǎn)換為阻抗平面。然后可以獲得B'點(diǎn)。B'點(diǎn)必須與D位于同一電阻圓上.圖形上，從A'到D只有一個解決方案，但中間點(diǎn)B（因此B'）需要通過“測試和嘗試”設(shè)置進(jìn)行驗(yàn)證。找到點(diǎn) B 和 B' 后，我們可以測量弧 A' 到 B 和弧 B' 到 D 的長度。第一個給出 C 的歸一化置疑值。第二個給出L的歸一化電抗值。弧 A' 到 B 的測量值為 b = 0.78，因此 B = 0.78 × Y0= 0.0156S。因?yàn)棣谻 = B，那么C = B/ω = B/（2 π f） = 0.0156/[2π（60 × 106）] = 41.4pF。

弧 B' 到 D 的測量值為 x = 1.2，因此 X = 1.2 × Z0= 60Ω.因?yàn)?ωL = X，所以 L = X/ω = X/（2 π f） = 60/[2π（60 × 106）] = 159nH。

圖 13.MAX2472典型工作電路

第二個示例將MAX2472的輸出與50Ω負(fù)載阻抗（zL）的工作頻率為900MHz（見圖14）。該網(wǎng)絡(luò)將使用MAX2472數(shù)據(jù)資料中所示的相同配置。上圖顯示了具有并聯(lián)電感器和串聯(lián)電容器的匹配網(wǎng)絡(luò)。以下是找到解決方案的方法。

圖 14.圖 13 的網(wǎng)絡(luò)及其點(diǎn)繪制在史密斯圖上。

首先要做的是轉(zhuǎn)換 S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換為其等效歸一化源阻抗。MAX2472使用Z0為50Ω。因此 S22= 0.81/-29.4° 變?yōu)?zS= 1.4 - j3.2， zL= 1 和 zL* = 1。

接下來，在圖表上定位兩個點(diǎn)。標(biāo)記 A 表示 zS和 D 表示 zL*.由于連接到源的第一個元件是并聯(lián)電感，因此請將源阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納。這給了我們A'點(diǎn)。

確定電感L連接后下一個點(diǎn)將出現(xiàn)的電弧部分火柴.因?yàn)槲覀儾恢繪的值火柴，我們不知道在哪里停下來。但是，我們確實(shí)知道，在添加 L 之后火柴（并轉(zhuǎn)換回阻抗），得到的源阻抗應(yīng)位于r = 1圓上。因此，附加串聯(lián)電容器C火柴可以使所得阻抗達(dá)到z = 1 + J0。通過將r = 1圓圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，我們繪制出與r = 1圓相對應(yīng)的所有可能的導(dǎo)納值。這個反射圓和與點(diǎn)A'一起使用的恒定電導(dǎo)圓的交點(diǎn)給了我們B點(diǎn)（導(dǎo)納）。B點(diǎn)對阻抗的反射成為B'點(diǎn)。

找到點(diǎn) B 和 B' 后，我們可以測量弧 A' 到 B 和弧 B' 到 D 的長度。第一次測量給出L的歸一化置化置化值火柴.第二個給出C的歸一化電抗值火柴.弧 A' 到 B 的測量值為 b = -0.575，因此 B = -0.575 × Y0= 0.0115S。因?yàn)?1/ωL = B，那么 L火柴= 1/Bω = 1/（B2πf） = 1/（0.01156 × 2 × π × 900 × 106） = 15.38nH，四舍五入為 15nH。弧 B' 到 D 的測量值為 × = -2.81，因此 X = -2.81 × Z0= -140.5Ω.因?yàn)?-1/ωC = X，那么C火柴= -1/Xω = -1/（X2πf） = -1/（-140.5 × 2 × π × 900 × 106） = 1.259pF，四舍五入為 1pF。雖然這些計(jì)算值未考慮元件的寄生電感和電容，但它們產(chǎn)生的值接近數(shù)據(jù)手冊規(guī)定的值L火柴= 12nH 和 C火柴= 1pF。

結(jié)論

鑒于當(dāng)今軟件的豐富性和高速高功率計(jì)算機(jī)的可訪問性，人們可能會質(zhì)疑是否需要這種基本和基本的方法來確定電路基本原理。

實(shí)際上，使工程師成為真正工程師的不僅是學(xué)術(shù)知識，還有使用各種資源解決問題的能力。將幾個數(shù)字插入程序并讓它吐出解決方案很容易。當(dāng)解決方案復(fù)雜且多方面時，擁有一臺計(jì)算機(jī)來完成繁重的工作特別方便。但是，了解已移植到計(jì)算機(jī)平臺的基本理論和原理以及它們的來源，使工程師或設(shè)計(jì)師成為更全面和自信的專業(yè)人士，并使結(jié)果更加可靠。

審核編輯：郭婷