進制轉換

什么是進制

進制也就是進位計數制，是人為定義的帶進位的計數方法。對于任何一種進制---N進制，就表示每一位置上的數運算時都是逢N進一位。

數數相信大家都會了，比如0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13...，在數數時某一位數量滿10了就向前進位，這種逢十進一的進位制，就叫十進制。

不過在日常生活中，并不止這一種進位制，比如1小時有60分鐘，1分鐘有60秒，滿60進一，這就是六十進制。

而在計算機中常用的進制除了十進制，還有二進制、八進制、十六進制

二進制

組成：0 1

規則：逢二進一

表示方式：二進制數1000010可寫成(1000010)2或寫成1000010B

八進制

組成：0 1 2 3 4 5 6 7

規則：逢八進一

表示方式：八進制數520可寫成(520)8或寫成520O

十六進制

組成：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

規則：逢十六進一

表示方式：十六進制的520可以寫成(520)16或寫成520H

為什么在計算機中，有這么多種進制表示方式？

• 方便：二進制數中只有兩個數碼0和1，可用具有兩個不同穩定狀態的元器件來表示一位數碼。
• 簡單：二進制數運算簡單，大大簡化了計算中運算部件的結構，0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10。
• 真假：二進制天然兼容邏輯運算。
• 缺點：二進制計數在日常使用上有個不便之處，就是位數往往很長，讀寫不便，如：把十進制的100000D寫成二進制就是11000011010100000B，所以計算機領域我們實際采用的是十六進制。二進制數轉換為十六進制數時，長度縮減為原先的約四分之一，把十進制的100000寫成八進制就是303240。十六進制的一個數位可代表二進制的四個數位。這樣，十進制的100000寫成十六進制就是186A0。

存儲單位

我們平常使用的程序，如：Windows操作系統、打字軟件、游戲軟件等。一般安裝在硬盤等外存上，但僅此是不能使用其功能，必須把它們調入內存中運行，才能真正使用其功能。

因為內存的讀寫速度相對于外存來說非常快，但是內存是暫時存儲程序以及數據的地方。當我們使用WPS處理文稿時，當你在鍵盤上敲入字符時，它被存入內存中。當你選擇存盤時，內存中的數據才會被存入硬（磁）盤。

內存是由無數個晶體管組成的(可以理解為燈泡)，一個晶體管作為一比特(bit)的存儲器。每個晶體管可以存儲一個二進制0或1，比特通常也叫做位。

位(bit) ： 計算機存儲的最小單位

字節(byte): 數據表示的最小單位

• 一個字節通常8位長 1byte = 8 bit

千字節(KB)：

• 1KB = 1024byte
• 為什么是1024，而不是1000呢？二的十次方剛好是1024，就這么表示啦~

字節以上的轉換單位都是1024，只有一個字節等于八個位是不一樣的...

思考：為什么硬盤標注的容量與實際的容量不一樣？

買的256G硬盤實際上只有238.4G，咱們一起來換算一下：

硬盤廠商十進制計算：256G = 256,000MB = 256,000,000KB = 256,000,000,000Byte 以1000為單位換算

操作系統二進制計算: 256G = 262,144MB = 268,435,456KB = 274,877,906,944Byte 以1024為單位換算

那么256G實際容量：256,000,000,000Byte/1024MB/1024MB/1024MB = 238.4G

所以，買256G硬盤實際上只有238.4G，而且容量越大差距也就越大了。

進制轉換

十進制轉其他進制：短除法

• 以十進制數520為例，分別轉換為二進制、八進制和十六進制，轉換過程如下：

其他進制轉十進制：位權相加

• 就以上面的520D的二進制、八進制和十六進制為例
• 首先，需要對其他進制從右往左依次開始編號，0 1 2 3 4 5 ...
• 然后，把每一位的數通過這個公式【數值 * 基數^編號】計算，然后把結果相加，即得到轉換結果

二進制10 0000 1000 轉十進制

98 7654 3210 編號
 10 0000 1000 B
 1*2^9 + 0 + 1*2^3 = 512 + 0 + 8 = 520 D

八進制1010 轉十進制

3210 編號
 1010 O
 1*8^3 + 0 +1*8^0  = 520 + 8 =520 D

十六進制208 轉十進制

210 編號
 208 H
 2*16^2 + 0 + 8*16^0 = 2*256 + 8 = 520 H

八進制、十六進制與二進制相互轉換：拆位

八進制與二進制

• 一個八進制數可以拆分為3個二進制數，3個二進制數可以合成一個八進制數

//二進制轉八進制
 001 000 001 000 B
 1   0   1   0   O
     
 //八進制轉二進制
 1   3   1   4   5   2   0    O    
 001 011 001 100 101 010 000  B

十六進制與二進制

• 一個八進制數可以拆分為4個二進制數，4個二進制數可以合成一個八進制數

//二進制轉十六進制
 0010 0000 1000 B
 2    0    8    H
     
 //十六進制轉二進制
 1    3    1    4    5    2    0    H
 0001 0011 0001 0100 0101 0010 0000 B

為什么可以這樣拆位呢？

• 三位二進制數表示的范圍是[0 - 8) -> 2^3 對于八進制來說剛剛好
• 四位二進制數表示的范圍是[0 - 16) -> 2^4 對于十六進制來說剛剛好

整數的存儲方式

一，機器數和機器數的真值

1，機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式，叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用機器數的最高位存放符號，正數為0，負數為1。

比如，十進制中的數 +3 ， 計算機字長為8位 ，轉換成二進制就是0000 0011，如果是 -3 ，就是 100 00011 。

那么，這里的 0000 0011 和 1000 0011 就是機器數。

2，機器數的真值

因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等于真正的數值。

例如上面的有符號數 1000 0011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3，而不是形式值131（1000 0011轉換成十進制等于131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為 機器數的真值 。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二，原碼, 反碼, 補碼

讓我們先了解原碼、反碼和補碼的概念。對于一個數，計算機要使用一定的編碼方式進行存儲，原碼、反碼、補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式。

1，原碼

**原碼就是機器數，**即用第一位表示符號，其余位表示值。比如：如果是8位二進制：

[+1]原= 0000 0001

[-1]原= 1000 0001

第一位是符號位，因為第一位是符號位，所以8位二進制數的取值范圍就是：（即第一位不表示值，只表示正負。）

[1111 1111 , 0111 1111] 即 [-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。

2，反碼

• 正數的反碼是其本身；
• 負數的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各個位取反。

[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反

[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反

可見如果一個反碼表示的是負數，人腦無法直觀的看出來它的數值。通常要將其轉換成原碼再計算。

3，補碼

• 正數的補碼就是其本身；
• 負數的補碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各位取反，最后+1。(也即在反碼的基礎上+1)

[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]補

[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]補

對于負數，補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的。通常也需要轉換成原碼再計算其數值。

三，為何要使用原碼、反碼和補碼

人腦可以知道第一位是符號位，在計算的時候我們會根據符號位，選擇對真值區域的加減。(真值的概念在本文最開頭) 但是對于計算機，加減乘數已經是最基礎的運算，要設計的盡量簡單，計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜！

于是人們想出了將符號位也參與運算的方法。我們知道，根據運算法則減去一個正數等于加上一個負數，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設計就更簡單了。

我們以計算十進制表達式：1 - 1 = 0為例

首先來看原碼：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [1000 0010]原= -2

如果用原碼表示，讓符號位也參與計算，顯然對于減法來說，結果是不正確的。這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數。

為了解決原碼做減法的問題， 出現了反碼：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]反+ [1111 1110]反= [1111 1111]反= [1000 0000]原= -0

發現用反碼計算減法，結果的真值部分是正確的。而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上，雖然人們理解上**+0和-0**是一樣的，但是0帶符號是沒有任何意義的，而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0。

于是補碼的出現，解決了0的符號問題以及0的兩個編碼問題：

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原+ [1000 0001]原= [0000 0001]補+ [1111 1111]補= [1 0000 0000]補=[0000 0000]補=[0000 0000]原注意：進位1不在計算機字長里。

這樣0用[0000 0000]表示，而以前出現問題的-0則不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128：-128的由來如下：

(-1) + (-127) = [1000 0001]原+ [1111 1111]原= [1111 1111]補+ [1000 0001]補= [1000 0000]補

-1-127的結果應該是-128，在用補碼運算的結果中，[1000 0000]補就是-128，但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128，所以-128并沒有原碼和反碼表示。(對-128的補碼表示[1000 0000]補，算出來的原碼是[0000 0000]原，這是不正確的)

使用補碼，不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數。這就是為什么8位二進制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127]，而使用補碼表示的范圍為[-128, 127]。

整數的存儲是將十進制為的整數轉換成其相應的補碼后存儲。

小數的存儲方式

現如今的計算機中浮點數的存儲都是遵循IEEE754/854標準，以二進制的科學計數法存放到內存中。

對于浮點數在計算機中有兩種存儲的精度，即單精度和雙精度，單精度是32位，雙精度是64位。

• 符號S：0為正，1為負
• 尾數M：小數點后面的部分
• 指數E：即階碼，指明了小數點在數據中的位置
  • 為了讓指數表示正、負引入了偏差碼，float的為127,double的為1024

十進制小數轉二進制小數

• 先把整數部分轉化為二進制
• 再把小數部分轉化為二進制(用2乘以小數部分，每次將結果整數取出，然后用剩余小數部分繼續乘以2，直到小數部分為零，或者達到要求的精度為止)

以float f = 5.25為例

整數部分：5 -> 101

小數部分：0.25 -> 0.01

0.25 * 2 = 0.5  --- 0
 0.5  * 2 = 1.0  --- 1  
 從上往下取值：0.01

最后結果：101.01 = 1.0101 * 2^2

可見指數實際值為2，加上偏差碼127，2 + 127 = 129，129的二進制為10000001B，因此不難得到，8.25在內存中的存儲情況為:

如果把這個值作為整型使用，將是一個很大的數字，是1084751872

把這個內存里面的值轉為十進制小數就很簡單了：

//1,首先判斷S表示的正負     +
 //2，計算出E實際表示的指數   1000 0001 = 129   129 - 127 = 2
 //3，根據M寫出二進制小數形式 1.0101 * 2^2 = 101.01
 //4，對二進制小數以小數點為界限開始編號
 210 -1-2 編號
 101. 0 1 B
 1*2^2 + 0 + 1*2^0 + 0*2^(-1) + 1*2^(-2) = 4 + 1 +  0.25 =5.25

注意：

• 在二進制，第一個有效數字必定是“1”，因此這個“1”并不會存儲。
• 浮點數不能精確表示其范圍內的所有數。
• 可精確表示的數不是均勻分布的，越靠近0越稠密。