一、電和磁到底有沒有關系？ ——奧斯特：電流的磁效應

二、電如何產生磁？ ——安培定律 三、磁如何產生電？ ——法拉第電磁感應定律 四、什么是B-H曲線 五、什么是永磁同步電機 5.1 電機原理的通俗理解 5.2 電機的數學模型 5.2.1 磁鏈方程 5.2.2 電壓方程 5.2.3 力矩方程 5.3 DQ坐標系下三大方程 六、什么是電壓極限圓和電流極限(橢)圓 七、旋轉磁場是如何產生的

工程問題本質上是解決兩個“流”的問題，一個是“信息流”，另一個是“動力流”。 我們前面說到的自動控制，信號處理其實都屬于“信息流”的范疇，解決的是大腦和神經的問題，而“動力流”，則是要解決肌肉問題。 只有兩個“流”處理好了，才能做出一個成功的工程。 今天，我們就來說一說“動力流”的核心部件之一——電機。

電機（Electrical Machine）本質是一個能量轉換裝置（電能和機械能互換），包括電動機和發電機。 工業中電動機更常見一些，因此狹義的電機通常是指電動機。 那磁鐵和永磁電機有什么關系呢？ ——永磁電機就是利用磁鐵制作的電機，只不過磁鐵這個名字不夠高大上，專業術語一般叫“永磁體”。 電現象和磁現象人類早就已經了解，但是直到19世紀，電學和磁學的研究仍處于很基礎的階段，而且絕大多數物理學家都認為電和磁是兩種完全不同的現象。 第一次工業革命后期，電磁學才逐漸合體并開始蓬勃發展起來，并催生了第二次工業革命——電力革命，這其中貢獻最大的有這么幾個人：奧斯特、安培以、法拉第以及高斯等，他們最重要的的工作都完成于1820年至1831年，最后由開了掛的麥克斯韋進行了總結并提出了完整的電磁理論。 電機的基本理論和工程實現基本都是在這一時期成型的，因此要想學習電機，了解基本的電磁理論發展過程是非常有必要的。

一、電和磁到底有沒有關系？ ——奧斯特：電流的磁效應

19世紀以前，人們一直以為電與磁勢完全不同的現象，沒有什么聯系，雖然有一些零星的物理現象暗示它們之間似乎有一些說不清道不明的關系。 直到1820年7月，丹麥的物理學家奧斯特（H.C.Oersted，1777-1851）發表了一篇文章《關于磁針上電流碰撞的實驗》，向科學界宣布了電流的磁效應——電和磁其實是一對CP。

奧斯特的論文起源于一個很偶然的實驗——在電池的兩極之間接上一根很細的鉑絲，在鉑絲的下方放置一枚磁針，然后接通電源，很正常的操作，貌似沒什么，但是現象卻很令人吃驚——小磁針轉動了，一直轉到鉑絲垂直的方向，改變電流方向，又發現小磁針向相反方向偏轉。

奧斯特的發現揭示了長期以來認為性質不同的電現象與磁現象之間的聯系，電磁學立即進入了一個嶄新的發展時期，法拉第后來評價這一發現時說：“它猛然打開了一個科學領域的大門，那里過去是一片漆黑，如今充滿光明。 ”人們為了紀念這位博學多才的科學家，從1934年起用“奧斯特”的名字命名磁場強度的單位。

奧斯特可能怎么也沒有料到，從1820年7月發表電流的磁效應的文章后，僅僅經歷了四個多月時間，電磁學就經歷了從現象的總結到理論的歸納一次大飛躍，從而開創了電動力學的理論。 而推動這一發展的，是一個我們非常熟悉的人——安培。

二、電如何產生磁？ ——安培定律

前面我們說到，能斯特發現了電流的磁效應，這個實驗結果強烈震撼到了安培——一個被稱之為“電學中牛頓”的大神。 安德烈·瑪麗·安培（André-Marie Ampère，1775 — 1836）出生于法國里昂，是我們學物理學的最早認識的科學家之一，因為電流的單位就是“安培”。

200年前的科學界和現在也差不多，那就是一個熱點文章發表后，總有一大群人蜂擁上來，發表灌水文章。 安培在看到奧斯特的電流的磁效應的文章后，也立馬開始了這一熱點領域的研究。 顯然安培不屬于灌水的這一類人，因為他不差名氣和聲望，驅使他前進的，是他對自然規律的好奇心。

安培通做電流做實驗，發現長直導線外，到導線距離相等的點，“磁場”大小相同； 距離不同的點，“磁場”大小隨著距離成反比； “磁場”和電流大小以及導線的根數也成正比。 我們不妨用 字母?來表示“磁場”的大小，則很容易得到：

或者更任性一點，我們可以定義沿半徑為?的圓上，其“磁場”大小為：

當然，安培是不會滿足于到此為止的，因為這實在算不上的什么重大發現——那不是圓怎么辦，如果是任意曲線呢？ ——安培偉大的地方在于，他還真的將“圓”擴展到了任意曲線上。

安培定律完整的表述為：在恒定電流的磁場中，磁場強度?沿任何閉合路徑??（即環路積分）的線積分等于其所包圍的電流強度的代數和，寫成數學的樣子就是：

這個公式暗含一個結論，那就是磁場是由運動的電荷（即電流）產生的，安培認識到磁現象的本質是電流 ，把涉及電流、磁體的各種相互作用歸結為電流之間的相互作用，提出了尋找電流元相互作用規律的基本問題。 因此在電磁學中，把產生磁場的電流也叫磁動勢或磁勢（Magnetomotive Force），簡寫為MMF，注意這是一個非常重要的概念，很多我們熟悉的磁場，都可以應用安培環路定理來計算。

三、磁如何產生電？ ——法拉第電磁感應定律

法拉第（Michael Faraday，1791-1867），英國的物理學家。 法拉第可以說是實驗物理學家的代表，一生做了無數次的實驗，遍布整個電磁學領域，其中最具代表性的，就是電磁感應定律了：磁通量變化產生感應電動勢。

電磁感應定律的定量描述為：線圈中感應的電動勢（Electromotive Force），簡稱EMF，與每匝線圈中磁通量的變化率以及匝數成正比，寫成公式就是：

那么，問題就來了——什么是磁通量？ 其基本定義是：

簡單來說就是磁通密度乘以面積，面積好理解，那磁通密度是什么？ ——與電場強度?是由單位點電荷受電場力類似，磁通密度可以根據運動電荷在磁場中所受到的磁場力來定義。 實驗發現：一個電荷??以速度??在均勻磁場中運動，會受到電磁力??，這個力和磁場的強弱是成正比的，即：

這個公式是洛倫茲公式的簡化版，也就說，我們可以通過電荷大小、運動速度以及所受到的力來反推周圍磁場的大小，這個磁場的大小就是磁通密度，也叫磁感應強度，單位是特斯拉（Tesla）。 注意，磁通密度是電機中最重要的概念之一。

四、什么是B-H曲線

細心的童鞋會發現一些端倪：

在介紹安培環路定理的時候，我們說電流可以產生磁場，磁場的大小可以用?來表示：

在介紹法拉第電磁感應定律的時候，我們又說可以通過受力，來計算電荷感受到的磁場?。

都是磁場，為啥用兩個量表示？ 他們是一回事嗎？ ——首先，可以明確一點，這倆貨量綱都不一致，肯定不是一回事。

我們一般把磁場密度?與磁場強度??之間的比值稱之為磁導率：

磁導率描述的是電荷感受的磁場（輸出）與電流產生的磁場（輸入）的比值，描述前者隨著后者的響應。 既然是響應，就會有幅值響應和相位響應，所以本質上，磁導率是一個復數，只不過呢，在電機里面都是工作在低頻段，相位滯后很小，可以忽略，一般只看幅值關系。

為什么介質中磁場輸入和輸出不一樣呢？ ——因為介質有了響應。 我們現在設想通過電流?，把磁場??加到某種材料當中，材料中的帶電粒子受到磁場的響應，進而產生了一些附加磁場，在該點處的總磁場不再是??了。 受外界磁場影響使得材料里也有內部額外磁場的過程，叫做“磁化”。

來源：考克斯博士

簡而言之，?是外部的激發場，??是總的響應場，在電機里面，這兩個量都非常重要，因為電機就是要考察電壓、電流以及力矩之間的關系，而：

電流和?相關；

力矩和?相關；

因此，理解?和??的關系，是學習電機的一個非常必要的知識點。

現在假設我們用一個正弦的電流對介質進行磁化，電流（代表?）變化如左下圖，得到介質中總的磁場（??）為右下圖：

來源：博士考克斯

其中，?表示剩余磁通密度（Remanent Flux Density），簡稱剩磁；??表示矯頑力（Coercive Force），可見??和??并不是一個簡單的線性關系，呈現出一個滯環，一般稱之為磁滯曲線。

不同的材料代表不同的介質，其磁滯回線也不一樣，如下圖所示：

來源：考克斯博士

有的材料滯環較寬，也就是當勵磁電流減為零后，總的磁場?仍保持在一個較大的值，我們稱之為硬磁材料或永磁體。

有的材料滯環較窄，也就是當勵磁電流減為零后，總的磁場?也基本減小到零，我們稱之為軟磁材料或導磁體。

五、什么是永磁同步電機

1821年，法拉第制作了一個裝置，這個裝置能將電能轉化成機械能，被認為是世界上第一臺電動機。

法拉第的裝置的組成非常簡單：將水銀注入一個圓形容器里面，中間放置一塊永磁體，一根長的導線一端懸掛，另一端浸入容器里的水銀里面，最后再外接一個直流電源。 原理也很簡單，永磁體產生的磁場與導線產生的磁場相互作用，產生一個使導線繞軸旋轉的力。 法拉第的天才之處在于想到了用水銀（常溫液體，有良好的導電性）解決了電機連續旋轉的所需要的換向問題。

法拉第的電機驗證了機電能量轉換可以連續進行的，為電機的發展奠定了堅實的基礎。 當然現代電機和法拉第的電機模型有了較大的區別，但原理都是完全一致的：都是兩個磁場相互作用。

5.1 電機原理的通俗理解

我們從小學就知道，磁鐵分N極和S極，磁力線從N極出發，最后回到S極； 磁鐵同極相斥，異極相吸。 磁鐵磁極之間的相互作用示意圖如下：

利用磁極之間的相互作用力，理論上我們可以移動一個磁極，讓另外一個磁極跟著運動，如果第一個磁極旋轉的話，另一個磁極也會跟著旋轉。 但是這樣無法稱之為電機，因為旋轉一個磁極需要的是機械能，這樣本質上是機械能之間的轉換，不是電能和機械能之間的轉換。 那怎么辦呢？

安培定律告訴我們，磁場本質是由電流產生的，我們想要的是磁場之間的相互作用，因此主要有電流即可，一個很自然的想法就是：能不能將兩個磁場中的一個用線圈來產生呢？ ——當然可以，永磁同步電機就是這么干的，具體見下圖：

我們一般將永磁體放在轉子上，定子是一個線圈，線圈通電后，也會產生一個磁場。 根據我們的直觀感覺，很容易得出如下結論：

當兩個磁場軸線正對著的時候（上圖左），磁場之間有相互吸引力，這個力是徑向的，不會產生轉矩。

當兩個磁場軸線有一定夾角的時候（上圖中），磁場之間有相互吸引力，但是這個力既有徑向分量，也有切向分量，因此會產生一定的轉矩。

當兩個磁場軸線垂直的時候（上圖右），磁場之間有相互吸引力，但是這個力主要是切向分量，因此產生轉矩最大。

可以做出如下猜想：對于旋轉電機而言，由于其轉矩是由兩個磁場相互作用產生的，因此：

轉矩的大小應該和兩個磁場的大小是正相關的，磁場越強，轉矩應該越大；

轉矩的大小和兩個磁場之間的夾角是正相關的，夾角為零時轉矩為零，夾角90°時轉矩最大。

這些都是定性分析，對于工程師而言，我們需要的是定量的計算，那怎么算呢？

我們知道，數學中的叉乘運算?描述的是什么東西呢？ ——叉乘的結果和兩個量的幅值成正比，和夾角正相關，這怎么和磁場產生轉矩的那么相像，那是不是可以可以用叉乘來計算兩個磁場相互作用產生的轉矩呢？

磁場的本質是電流產生的，產生磁場的電流又叫磁動勢，假如我們膽子更大一點，是不是可以進一步猜想：

其中?表示線圈磁動勢，??表示永磁體磁動勢。

也就是說電機轉矩和線圈磁動勢與永磁體磁動勢的叉乘成正比。 這么想是合理的，后面我們會有證明。

當然，真正的電機是不會直接拿線圈和永磁體直接相吸的，這樣效率太低，一般是將線圈繞在磁軛上，磁軛是軟磁體，起著導磁的作用，如下圖所示。

5.2 電機的數學模型

電機就是一個能量轉換裝置，將電能轉化成機械能，轉換路徑是電能?電磁能??機械能，要分析這個過程，其實就是解決三個方程的問題：

磁路分析——磁鏈方程

電路分析——電壓方程

機械分析——轉矩方程

下面我們就按照這個思路，看看如何分析一個永磁同步電機。

我們前面說了，電機產生轉矩就是兩個磁場相互作用，當個磁場都在連續旋轉時，就產生了一個固定的旋轉力矩。 要產生旋轉的磁場，就要有“旋轉”的電流； 要產生“旋轉”的電流，就要有“旋轉”的電壓； 同時旋轉的磁場還會產生“旋轉”的磁鏈，其示意圖如下：

可以把電壓、電流以及磁鏈都看成是旋轉的矢量，其轉速完全一致，相位不同。 數學表達如下：

電壓矢量：

電流矢量：

磁鏈矢量：

文章中，我們把旋轉的矢量用加粗帶箭頭的符號表示，把矢量用只帶箭頭的符號表示。 電壓、電流以及磁鏈雖然以相同的速度在旋轉，但是其相位還是有差別的，因此，我們有必要定義一個基準，把這個相位信息表達出來。 在電機里面，為體現逼格，我們一般不叫xy軸，而是把永磁體所在的軸線稱之為d軸（Direct Axis），也叫直軸，垂直于永磁體的軸線稱之為q軸（Quadrature Axis），也叫交軸。 d軸和q軸相差90°電角度，示意圖如下：

至于什么是電角度，我們后面會說。

5.2.1 磁鏈方程

磁鏈表征著磁場的信息，對于永磁電機而言，轉子一般是永磁體，所以只對定子線圈進行磁鏈計算即可。 我們知道線圈磁鏈計算公式為：

?是通過單個線圈的磁通，??是線圈的總匝數。

電機中的磁場來源可以分成兩部分，一部分是線圈是產生的，另一部分是永磁體產生的。 即：

其中?為線圈自身產生的磁鏈，??為永磁體產生的磁鏈。 其向量圖如下圖所示。

對于線圈而言，專門有一個量來表征線圈自身產生磁鏈的能力——電感，單位為亨利（H），

電感定義為：

即單位電流產生的磁鏈，電感和電阻類似，雖然是通過磁鏈和電流來定義和計算的，但是其本質是由磁路的物理結構決定的，與電流沒有關系（除非電流引起磁路飽和，相當于改變了磁路的物理結構）。

因此線圈產生的磁鏈可以表示為：

永磁體在線圈產生的磁鏈為：

5.2.2 電壓方程

電機中磁路主要研究磁鏈方程，而電路主要研究電壓平衡方程。 忽略電機中的鐵損及漏磁等，對于定子線圈，模型可簡化成下圖所示：

很容易得出：電路的外電壓等于電阻損失電壓與線圈感應電壓之和，寫成數學形式為：

將線圈的磁鏈分解成線圈電流產生磁鏈以及永磁體產生磁鏈：

其中：

假設磁路均勻，即電感是常值，令?，稱之為同步電抗，則：

永磁體產產生的感應電勢為：

此處也假設磁路均勻，則定子線圈總的感應電勢為：

不難發現：?存在是因為線圈中電流變化，導致了??變換而其引起的，其大小可用電感來表征，因此稱之為感生電勢或者是變壓器電勢；??存在是因為永磁體產生的旋轉磁場導致了線圈有效面積??發生改變而引起的，因此稱之為動生電勢或反電動勢。 線圈中總的感應電勢即是感生電勢和動生電勢之和。

電壓平衡方程的矢量形式為：

畫成相量圖的形式為：

圖中?為動生電勢（反電動勢），??為感生電勢（電感電勢）。

注意：所有的相量都在旋轉。

我們前面定義了：

電壓矢量：

電流矢量：

磁鏈矢量：

將上式代入電壓平衡方程可得：

對應的等效電路圖為：

5.2.3 力矩方程

力矩是電機設計及控制中非常核心的一個量，一把書上要么是直接給出方程，要么是從能量轉換的角度推導出，要么太粗暴，要么太復雜，都不太容易理解，今天，我們從能量守恒的角度來看一下，希望能減輕一下各位童鞋的負擔。

電機，本質是一個能量轉換裝置，對于電動機來說，就是將電能轉換成機械能。 在復平面域，計算出的功率稱之為復功率，與實數領域直接相乘略有不同，復平面對應的是電壓相量與電流相量的內積：

代入電壓平衡方程可得：

根據內積的定義?,這樣就可以得到電機進行能量轉換時的復功率：

方程的左邊就是流入電機的瞬時功率，這個比較好理解，我們著重分析一下方程右邊的兩項分別代表什么意思。

第一項：?代表著電阻??在電流??下產生的功率，這個比較好理解，可以看成是熱損耗，電機中繞組由于大都是銅線繞指的，一般也叫銅損，最終損耗掉了。

第二項：?，

由復數的計算規則：

進一步化簡可得：

我們知道，對于復功率而言，實部是有功功率，虛部是無功功率。 取這一項的實部即為有功功率，所以：

這個式子看著有點嚇人，但是化簡一下就簡單明了了：

上式的右邊看著是不是有什么規律呢？ ——

所以最終的有功功率非常簡單：

式中?表示叉乘后的方向（含全面的符號），加上它是為了形式上一致，因為點乘后標量，叉乘后是矢量。

知道了有功功率，這個時候我們就很容易計算轉矩了，假定轉子的轉速是?,則轉子上的力矩為：

其中為極對數，這一塊很多童鞋是由迷惑的，我們說?為電角度，??為機械角度，它倆到底有什么關系？ 什么時候用電角度？ 什么時候用機械角度？

我們前面舉例子時一般都是一對極，這樣沿機械一周，電信號也變化一個周期，此時機械角度與電角度相同，即?； 當極對數??大于1時，這樣沿機械一周，電信號就會變化??個周期。 下圖給出了3對極和6對極時每個機械周期內（360°）電信號變化的情況。

可見，?。

由于

所以力矩還可以寫成：

由于?，所以轉矩還可以寫成：

前面我們猜測：

在這里也可以得到證明，因為?，??。

5.3 DQ坐標系下三大方程

前面我們所有的三大方程（磁鏈、電壓、轉矩）都是用矢量來表示的，形式是相當簡潔的，但是考慮到大多人還是習慣標量的表示方法，而且矢量運算在計算機中也不容易實現，所以大多數教材上一般都是給出標量形式下的電機三大方程。

我們首先將電壓、電流及磁鏈矢量投影到dq坐標系上：

帶入到原始旋轉矢量方程：

代入電壓平衡方程可得：

化簡可得：

則通過簡單的數學運算，很容易得到?坐標下標量形式的磁鏈方程：

?坐標下標量形式的電壓方程：

畫成相量圖的形式如下：

?坐標下矢量的力矩方程：

標量形式 力矩方程為：

進一步變形：

這就是教科書上最常見的形式了，這表明：永磁同步電機的力矩包含兩個部分，一是?，這是由永磁體產生的力矩，一般稱之為勵磁力矩或對齊力矩（Alignment Torque）； 另一部分??是由于磁路上磁阻不均勻（??）引起的，所以稱之為磁阻力矩，如果磁路交直軸磁阻相等，則這部分力矩消失。

來源：加利亞博士

將?、??用電流幅值及角度進行表示，輸出轉矩為：

上式對?求導，并取導數為零，即可以得到轉矩取極值時對應的??值：

?，其中?

上式中，位移的未知量是?，也就說有了測量到了電流值，就可以計算出??，從而獲得最大的轉矩——這就是最大轉矩比電流控制（Maximum Torque per Ampere），簡稱MTPA。

六、什么是電壓極限圓和電流極限(橢)圓

我們令：

前面我們介紹了?坐標下電壓方程為：

現在我們考慮穩態時情況，先忽略電阻?（通常比較小），穩態時??、??不再變化，因此電壓平衡方程可以簡化為：

為簡單起見，先假定?則：

來源：加利亞博士

其中綠色為電壓極限圓，紅色為電流極限圓。 電機的電壓是由逆變器提供的，是有限制的，也就是說?，很顯然能得出以下幾個結論：

電壓極限圓不是正好在電流坐標系的中心，偏置為?;

轉速越高，電壓圓的半徑越小；

電機必須工作在電壓圓與電流圓同時覆蓋的區域（截面線示意的部位）

當電機轉速很低時，電壓極限圓很大，電流極限是其主要約束，因此低速下電流可以一直保持在?為最大值狀態，此時稱之為恒轉矩區，如下圖所示的T1區。 當轉速繼續上升時，電壓和電流極限圓都成為約束，兩者的交點處為工作點，如下圖的T2和T3區，??開始出現分量，此時成為弱磁狀態，即永磁體產生的磁場被??產生的磁場削弱了，進而在同樣的電壓下能夠產生更高的轉速。

來源：加利亞博士

上面討論的是?（即隱極）的情況，當??時，電壓方程變為：

?電壓極限圓變成了電壓極限橢圓，如下圖所示：

來源：加利亞博士

當電機做好之后，，因此任意的??、??都會對應一個力矩值，我們把力矩相同的之用線連起來就得到一族等力矩曲線，如下圖的三條黑色的等力矩線。

來源：加利亞博士

同一個等力矩的曲線會和不同的電流圓相切，產生一系列的切點，這些切點的軌跡就是MTPA（最大力矩比電流）控制點，因為在一定的電流極限下，該切點是力矩最大的點。

同一個等力矩的曲線會和不同的電壓橢圓相切，產生一系列的切點，這些切點的軌跡就是MFPT（最大轉速比力矩）控制點，因為在一定電壓極限（電壓代表著速度）下，該切點是速度最大的點。

七、旋轉磁場是如何產生的

前面我們說了這么多，都有一個大前提：電機要連續旋轉 ，一定要有一個旋轉的磁場。 那旋轉磁場從何而來？

說到這我們不得不提一個人——尼古拉·特斯拉，關于特斯拉，有很多傳說：

有人說，他預測出第一次、第二次世界大戰； 有人說，他預見了泰坦尼克號的沉沒； 有人說，他制造了通古斯大爆炸，威力是廣島核彈的1000倍； 有人說，他可以利用電磁，穿越時空； 有人說，FBI將他的照片掛在機密大樓的頭號位置。 ...... 《世界華人周刊》

2003年，一個叫馬斯克的科技狂人，創辦了一家很酷的電動汽車企業，取名特斯拉。 正是為了致敬他的偶像：尼古拉·特斯拉。 今天我們就從一個小角度，來窺探一下特斯拉的偉大之處——交流電。

一個典型的永磁同步電機的繞組如上圖所示，3相繞組在空間120°電角度布置，繞組里面分別通相位相差120°的三相交流電：

那繞組中產生的磁動勢是什么樣子呢？

化簡一下：

如果你還沒看出來，我們用圖像來演示一下前面的推理過程，可能會更形象一些：

也就是說，磁動勢變成了一個旋轉的矢量！

如果把坐標系放在電機里面，大概是這個樣子：

好了，現在旋轉的磁場已經產生了，它的表達式是這樣：

那么新的問題來了，大多數人數學不好啊，不會復數計算啊，怎么辦？ 這時候大神歐拉來了，用我的公式啊——好用，最主要還是免費的：

合成磁動勢是一個復數，我們可以用歐拉公式轉換一下：

也就說合成磁動勢可以由兩個空間和相位都差90°的諧波組成。

整理一下思路：我們有一個三相繞組，空間和相位都差120°，合成起來是一個旋轉的磁動勢，公式簡潔漂亮，可是不好計算。 我們用歐拉公式轉換一下，發現用一個空間和相位都差90°的亮相繞組可以完美等效,這就是Clark變換。

好了，現在我們有一個旋轉的磁場了，也知道怎么等效計算了，但是感覺還是太復雜，我們能不能再偷點懶了？ ——如果我們站在一個坐標系里面，這個坐標系也在旋轉，而且旋轉的速度和合成磁動勢一樣，這時候再去觀察磁動勢，會是什么樣？ ——一個常量，這就是Park變換。

審核編輯：湯梓紅