本文詳細對比了切比雪夫濾波器和Papoulis濾波器特性，并且得出結論切比雪夫濾波器要優于Papoulis濾波器。這里的Papoulis濾波器也叫勒讓德濾波器或者L濾波器?？梢詫W習下本文的研究方法，討論如何通過移位雅可比多項式來替代勒讓德多項式來推導Papoulis濾波器。

A Comparison of Papoulis and Chebyshev Filters in the Continuous Time Domain

在連續時間域中比較Papoulis濾波器和Chebyshev濾波器

Negovan STAMENKOVIC, Nikola STOJANOVIC, Dijana JOVANOVIC, Zeljko STANKOVIC

University of Pri?tina, Faculty of Sciences, 38220 K. Mitrovica, Serbia
Faculty of Electronic Engineering, University of Ni?, A. Medvedeva 14, 18106 Ni?, Serbia
Department of Informatics, College of academic studies "Dositej", 11000 Belgrade
Faculty of Informatics, Paneuropean University Apeiron, 78000 Banja Luka, Bosnia and Herzegovina
negovan.stamenkovic@pr.ac.rs, nikola.stojanovic@elfak.ni.ac.rs

Submitted March 21, 2021 / Accepted June 13, 2021

摘要

本文的主題是重新審視Chebyshev（等波紋）和Papoulis（單調或階梯）低通濾波器以進行比較?？梢悦鞔_地說，現有文獻中并未找到Papoulis和Chebyshev濾波器的公正比較。在開始階段，本文展示了如何使用波紋參數使Chebyshev濾波器的幅度響應比標準Chebyshev響應的通帶波紋更少。與此同時，通帶截止頻率保持在。接著，解釋了設計奇數和偶數次Papoulis濾波器的統一方法。為了比較，將Chebyshev濾波器作為Papoulis濾波器的對等物引入。因此得到的Chebyshev濾波器具有與Papoulis濾波器相同的阻帶插入損耗、群延遲和瞬態響應，然而，切比雪夫濾波器的通帶性能明顯更好。結果顯示，除了需要通帶衰減具有階梯形狀的應用外，Chebyshev濾波器的對等物在所有應用中都提供了比Papoulis濾波器更好的解決方案。

Keywords

Electronic filters, approximation, Chebyshev filter, Papoulis filter, insertion loss, return loss

1. 引言

Papoulis提出了全極點低通濾波器[1]，它可以被視為從Butterworth濾波器到Chebyshev濾波器之間的良好過渡。這些濾波器的通帶幅度特性隨單調遞減，并呈現階梯行為。如文獻中所述，"這些濾波器可以用于許多應用；即，當瞬態響應也被考慮時，通帶內的高波紋是不能容忍的；此時，人們通常作為簡單妥協選擇Butterworth濾波器，盡管它的截止特性不是太好。"在這篇論文發表后，單調濾波器引起了研究者的關注。例如：提供最大漸近斜率(maximum asymptotic slope)的H類（Halpern）濾波器[2]、帶寬性能改進的單調濾波器[3]、LSM（最小二乘單調）濾波器[4]（在所有通帶幅度響應被限制為單調的濾波器中，提供最小的通帶插損）以及論文[5]中，作者表明Halpern濾波器只具有學術性的興趣。單調濾波器和拋物濾波器(parabolic filter)的比較在[6]中給出，而在論文[7]中可以找到單調濾波器之間的比較。還應注意的是，單調濾波器占據了最近出版的一本書[8]的大部分內容。

本文有兩個主要目標:

首先，將展示等波紋（Chebyshev）逼近在與階梯（Papoulis）逼近比較時，前者提供更好或者在最壞的情況下相等的性能。

其次，已經證明了Chebyshev濾波器作為Papoulis濾波器的對等物，可以在所有應用中代替Papoulis濾波器。最后，我們普遍認為階梯濾波器僅具有學術的重要性。

2. 濾波器的傳遞函數

假設一個線性時不變的雙端網絡可以由階線性微分方程來描述。相應的功率損耗[9]是的有理函數，形式如下：

其中，是的完全偶數或奇數階特征函數。插入損耗以表示，由給出

負載電阻吸收的功率與輸入端反射回源的功率之間的關系由Feldtkeller方程給出，其中是輸入端的反射系數。將傳輸系數的表達式（1）代入Feldtkeller方程，得到

回波損耗以表示，形式為。

確定了后，可以使用標準程序找到連續時間低通傳遞函數。第一步是在復平面上進行的解析延拓，通過替換。第二步是因子分解。平面的左半部分因子是穩定且時間不變的傳遞函數所需的分母：

其中，是保證幅度以1為上界的約束常數，。如果為奇數，則特征函數在零頻率處等于零，即，這給出和。

2.1 縮放的切比雪夫特征函數

眾所周知，關于截止斜率的最優濾波器設計可以通過使用切比雪夫多項式來實現[10]。當濾波器的通帶內存在高波紋時，這無法容忍，必須降低通帶的波紋并保持通帶截止頻率在。因此，將標準切比雪夫函數通過波紋參數進行縮放，并相對于實角頻率進行重新歸一化?，F在，低通濾波器的縮放的切比雪夫特征函數可以按以下形式獲得：

由于考慮了歸一化到1的通帶截止頻率，即，特征函數的角頻率可以方便地在封閉形式中找到，結果如下：

因此，在區間上，其中是波紋帶，在0和之間振蕩，導致在1和之間振蕩，同時?？梢杂嬎愠霾y帶上的插入損耗值為。

值得注意的是，特征函數(4)是階數為的切比雪夫多項式的平方，以縮放并通過重新歸一化，其形式為：

以下我們將其稱為縮放的切比雪夫多項式或簡稱為切比雪夫多項式，因為它的通帶是等波紋的。我們也可以認為波紋因子可以被視為縮放的切比雪夫多項式的階數。嵌入的參數就像在Gegenbauer多項式[11]的情況下的階數一樣，作為自由度的一種表現。這些多項式并不是相對于切比雪夫權重函數在區間上的正交，因為重新歸一化的頻率同時依賴于濾波器的階數和波紋參數。另一方面，這些多項式是純偶或純奇多項式，它們的實根位于通帶內。

圖 1中給出了三個縮放的切比雪夫特征函數，，對于和和7。

這些特征函數的波紋帶也在圖1中描繪出來。因此，縮放的切比雪夫多項式(6)是切比雪夫多項式的一種，可以用來近似濾波器傳輸系數的幅度函數。

圖 1. 對于和和7的縮放的切比雪夫特征函數。波紋帶已標記。

2.2 Papoulis濾波器的特征函數

在原始論文[1]和[12]中，Papoulis教授分別提出了奇數階和偶數階的單調（階梯型）低通濾波器。這類濾波器被稱為L型濾波器，因為在原始推導中使用了勒讓德多項式。以下文本詳細描述了奇偶數階濾波器的唯一解。

階數為的階梯型濾波器的奇偶特征函數的生成公式，其實系數可以表述如下形式[14]：

這是的正實函數。為了使得是一個單調多項式，多項式被使用，以形成一個完全平方形式。為了確定，它被展開為一個正交多項式的平方和，這個正交多項式的正交區間匹配低通濾波器的歸一化通帶，即。使用雅可比多項式代替勒讓德多項式[1]，也可以推導出階梯型（單調的）Papoulis濾波器。

具有兩個固有參數和的雅可比多項式，在區間在權重函數下是正交的。對于，它有個不同的零點，但是它們既不是偶數也不是奇數。這種類型的多項式不適合作為濾波器特征函數，需要進行修改以滿足作為濾波器函數的要求[15]。為了設計單調濾波器，使用了移位雅可比多項式(shifted Jacobi polynomials)。它們通過線性替代定義，即，其中，（滿足 和）。這些多項式在區間上相對于權重函數是正交的?？梢宰C明如果且，那么且?？梢酝ㄟ^Matlab符號函數方便地確定移位雅可比多項式。

由于參數值被限制為整數值，并設，那么就是一個純偶正交多項式，相對于權重函數。換句話說，多項式相對于權重是正交的。然后有：

其中，并且它可以在濾波器特征函數的某個位置使用。

為了確定Papoulis濾波器的特征函數（7），我們首先將多項式展開為移位雅可比正交多項式的級數形式，得到以下表達式：

其中，對于偶數，為2，對于奇數，為1。常數根據多項式的正交性條件計算得出。為此首先計算內積：

所以，根據公式 (10)，我們得到，其中的的取值范圍對于偶數是，而對于奇數的，我們得到，其中的取值范圍是。由于，我們可以推導出，然后可以得出dB帶寬被歸一化為1。從公式 (9) 中，我們可以得到在通帶截止頻率時，特征函數的截止斜率是最大的：

這是由Papoulis [1] 首次提出的。未知系數可以通過求解一個極值問題來確定，該問題需要借助拉格朗日乘數和拉格朗日函數來解決：

這里的是包含系數的向量。函數的偏導數給出了個等式，這些等式通過設定它們為零來求解，如下：

以及

使用公式 (13)，系數可以表示為。將這些值代入公式 (14)，就可以得到參數，然后得到。由于已知系數，所以特征函數可以通過使用公式 (9) 中給出的定積分得到。例如，設定 和。然后 并且。

圖 2 顯示了三個奇數階Papoulis（階梯型）特征函數，對等的值為3，5和7。最接近通帶邊緣的拐點被標記出來。這些頻率被用來定義階梯型頻帶和階梯型插入損耗水平。如果濾波器的階數增加，階梯型通帶會增加，相應的通帶衰減也會稍微增加。

圖 2. 對等和7的Papoulis特征函數。

譯注：
這里處理感覺不妥，以這個平臺作為評估帶寬和插入損耗水平有點勉強。

3. 切比雪夫濾波器作為Papoulis濾波器的對等物

在縮放后的C類濾波器的第一種邊界類別中，當時，我們可以得到Butterworth濾波器。第二種邊界類別和則對等于有通帶紋波的切比雪夫濾波器。我們可以觀察到，如果紋波參數從0增加到1，那么漸進斜率就會從Butterworth濾波器的1增加到切比雪夫濾波器的，其中是濾波器的階數。Papoulis濾波器的漸進斜率位于這兩者之間。在接下來的內容中，我們將展示如果切比雪夫濾波器具有與Papoulis濾波器相同的漸進速率，那么它就可以被視為Papoulis濾波器的對等物。

由于這兩種濾波器應具有相同的漸進斜率，因此可以通過求解以下非線性方程來找到切比雪夫濾波器的階數，其中是切比雪夫濾波器的漸進斜率。

而是已知的Papoulis濾波器的漸進斜率。換句話說，漸進斜率是濾波器特性函數的主系數的平方根。例如，如果，那么Papoulis濾波器的漸進斜率是，而切比雪夫濾波器，作為Papoulis濾波器的對等物，其特性由決定。

表 1. 作為階梯型濾波器對等物設計的等波紋濾波器分母中的多項式的歸一化系數。

表 1列出了切比雪夫濾波器作為Papoulis濾波器的對等物的系數，其階數高達11階。表中還總結了相應的性能：對等物的值，通帶內特性函數下的面積（面積），漸進斜率（AS），紋波帶，以及紋波帶內的插入損耗水平。切比雪夫濾波器（Papoulis濾波器的對等物）的插入損耗水平小于，并且如果濾波器的階數增加，損耗將會減少。因此，我們可以說，在通帶內，它是近似單調的[16]。

Papoulis濾波器的性能可以通過使用第2.2節中提出的方法進行計算，或者可以在[7]中找到。

4. 對比

我們在圖 3中給出了9階Papoulis濾波器、切比雪夫濾波器和巴特沃濾波器的頻率響應。將切比雪夫濾波器的階數降低到值，使得切比雪夫濾波器的群時延響應和阻帶插入損耗與Papoulis濾波器的相同。這兩個濾波器具有相同的漸近斜率，如圖 3所示。

圖 3. Papoulis濾波器和其對等的切比雪夫濾波器的頻率響應。

切比雪夫濾波器在通帶中提供了更好的性能。紋波帶內的插入損耗水平，遠低于階梯帶內的插入損耗水平。階梯帶略窄于紋波帶。階梯特性函數下的面積幾乎是等紋波特性函數下的面積的四倍。換句話說，Papoulis濾波器的反射功率大約是其四倍。

給出頻率響應在圖 3中的濾波器的回波損耗響應可以在圖 4中看到。切比雪夫濾波器的回波損耗水平為，它比Papoulis濾波器的回波損耗水平低約。

圖 4. Papoulis濾波器和其對等的切比雪夫濾波器的回波損耗。

反射系數的零點可以通過找到縮放的C多項式(6)的根來得到。求解，得到封閉形式的反射零點

其中表示向下取整函數。顯然，所有反射零點都在通帶的-軸上，濾波器的最大功率傳輸在這些頻率下發生。

Papoulis濾波器和其對等的切比雪夫濾波器的單位階躍響應之間沒有差異，如圖 5所示。

圖 5. 等紋波濾波器和階梯濾波器的階躍響應對比。

正如Orchard [17]所解釋的，如果存在最大功率從源到負載的頻率，濾波器傳輸函數對元件變化（在通帶內）的敏感度可以達到零。切比雪夫濾波器也設計為在通帶內的某些頻率（反射零點）實現最大功率傳輸。對于，最大功率傳輸發生在傳輸系數大小等于一的四個頻率處，而這些值不能被超過。在這些頻率下，實現為LC階梯電路的切比雪夫濾波器對線圈和電容器值的變化顯示出零敏感度，并保持整個通帶的敏感度較低[17]。因此，隨著通帶紋波的減小，敏感度也會減小。另一方面，Papoulis濾波器并未設計為最小化通帶內對元件變化的敏感度，因為最大功率傳輸只在直流下發生。因此，Papoulis濾波器在通帶內的敏感度遠高于其切比雪夫濾波器對等物的敏感度。

5. 結論

本文提出了一種新型全極點低通濾波器，其在通帶中具有等紋波（切比雪夫）響應。此處我們討論了這種新提出的濾波器與全極Papoulis濾波器的對比，因為這兩種濾波器具有相同的漸近斜率。我們提供了一張表格，包含了3至11階切比雪夫濾波器的傳輸系數，用于與Papoulis濾波器進行比較。新提出的濾波器相比階梯濾波器的主要優勢如下：

譯注：嚴格來說這不能算是一種新濾波器，這本來就是切比雪夫濾波器。

額外的自由度使得可以調整通帶中的紋波，因此可以生成階梯濾波器的對等物的濾波器性能。

當時，得到切比雪夫濾波器的一個特殊情況——巴特沃斯濾波器。

特性函數，反射零點，漸近斜率和截止斜率都可以用封閉形式表示。

與每個已知的階梯濾波器相比，通過特性函數在通帶下的面積以及通帶內插損更小。

濾波器系數的數值計算簡單。階梯濾波器的系數是通過復雜數學運算得到的。

如果濾波器的階數增加，那么插損和元件變化的敏感度會減小，而在階梯濾波器的情況下，插損和敏感度會增加。

回波損耗在通帶內呈等紋波形式，其水平低于Papoulis濾波器的回波損耗水平?；夭〒p耗為零的頻率以數學封閉形式給出。

通帶敏感度在某些頻率處為零，而且在整個通帶內明顯降低。在這些頻率下，可以進一步調整濾波器的特性。

奇數階特征函數是完全平方，并在原點處為零，因此，實現的LC梯形網絡具有對稱性，并且額外降低了靈敏度，這對階梯濾波器來說是無效的。

因此，可以得出的結論是，在具有階梯通帶響應和優化截止斜率的濾波器以及具有等紋波通帶響應的濾波器之間，后者在所有應用中都提供了更好的解決方案。由于等紋波濾波器的設計方程式簡單，其性能與階梯濾波器相同或更好，根據以上的比較，人們普遍認為階梯濾波器只在學術上具有重要意義。

致謝

作者感謝尼什大學的V. S. Stojanovi?教授提供的寶貴評論和建議。此處展示的部分工作得到了塞爾維亞教育和科學部在TR 32009項目框架內的部分支持。

注:

Fukada [13]發布了相同的結果，但只針對偶數階濾波器。
漸近斜率將以特性函數的主要系數的平方根來表示。具有通帶紋波的切比雪夫濾波器的漸近斜率為。
所需面積通過積分獲得：Area，它與濾波器輸入端的反射功率有關。

關于作者 ...

Negovan STAMENKOVI? 他于1979年出生。他于2006年從普里什蒂納大學技術科學學院的電子和電信系獲得碩士學位，于2011年從塞爾維亞尼什電子工程學院獲得電子與計算機工程博士學位。他現在是普里什蒂納大學自然科學與數學學院的教授。他目前的研究興趣在基于余數系統的模擬和數字信號處理領域。

Nikola STOJANOVI? 他于1973年出生。他于1997年在普里什蒂納大學技術科學學院獲得電子與電信學士學位，2013年在尼什大學電子工程學院獲得多媒體技術碩士學位，并于2018年從尼什大學電子工程學院獲得電子與計算機工程博士學位。目前他在尼什大學電子學院擔任多媒體和3D動畫講師。他的研究興趣包括數字和模擬信號處理，3D動畫和數字化。

Dijana JOVANOVI? 她于1996年出生。她于2018年和2019年分別從貝爾格萊德“Dositej”學院學術研究部的信息學系獲得學士和碩士學位。從2018年開始，她在“Dositej”學院學術研究部擔任研究助理。她是貝爾格萊德大學的博士研究生。

?eljko STANKOVI? 他于1957年出生。他于2006年從塞爾維亞諾維薩德大學的數學與自然科學系獲得碩士學位，2010年從貝爾格萊德辛吉杜努姆大學的信息技術系獲得信息技術博士學位。他是巴尼亞盧卡泛歐大學 Apeiron 信息學系的助理教授。