變換器穩態分析原則

前言：以Buck變換器為例，對小紋波近似、電感伏秒平衡以及電容安秒平衡進行解釋說明。

圖1所示為Buck變換器，所有器件均視為理想元件，電感兩端電壓及電容電流參考方向如圖中所示。

圖1 Buck變換器

傅立葉分析：周期波形的直流分量等于其平均值。所以在電路中，可以通過傅立葉分析求得平均值來求解變換器周期波形的直流分量。圖2所示為Buck變換器開關端口電壓波形，圖2(a)為Vs時域波形，當占空比D=0.5時，對時域波形進行傅立葉變換可得如圖2(b)所示的Vs頻域波形。由圖2(b)可知，周期性開關電壓除了包含fs=0的直流分量外，還含有開關頻率交流成分諧波。而對電壓型變換器而言，設計的目的在于獲得穩定的輸出電壓（即：期望輸出電壓僅含直流量不含交流量），因此，可通過對變換器添加LC濾波器（如：Buck變換器的輸出電感和電容）濾除開關頻率諧波而獲得想要的直流分量。

（注：此處所述LC濾波器僅為變換器內部的LC元件，且LC截止頻率遠小于開關頻率；而對于兩級電路架構之間的LC濾波器，其作用更多體現在前級變換器輸出端口與后級變換器輸入端口之間的阻抗匹配，其目的在于消除前后級之間的低頻耦合，此時的截止頻率與前后級變換器控制的開關頻率相關性較小。）

圖2 開關端口電壓波形

所以傅立葉分析求解電路表達式（如電壓型變換器的輸出電壓）的過程過于繁瑣，因此在穩態條件下，通過引入小紋波近似來推導電感的伏秒平衡和電容的安秒平衡（或電荷平衡），以對變換器進行直接分析。

01小紋波近似

何為小紋波近似？小紋波近似是指在穩態條件下，當波形中的交流紋波分量幅值遠小于其中的直流分量大小時，忽略交流紋波分量，對電路進行分析時將實際波形近似等效成僅含直流分量，此過程簡稱小紋波近似（或線性紋波近似）。

小紋波近似為何只能用于連續波形（如：CCM下的電感電流和電容電壓），而不能用于斷續波形（如：開關電壓、開關電流或電感電壓）？對于穩態下的連續波形，其組成可看成直流分量疊加一個由于低通濾波器對開關諧波不完全衰減而引起的交流紋波分量；而對于不連續波形，由于波形本身僅含交流紋波分量而不含直流量，因此無法忽略交流紋波，所以小紋波近似并不適用。

（注：所以DCM下，分析電容電壓時小紋波近似可用，但是分析電感電流時不能直接使用，需采用廣義狀態平均法來分析。）

此外，在對變換器波形的分析中，如果開關周期比電路的固有時間常數（主要指變換器中濾波器的響應時間）小很多，則小紋波近似合理。

02電感伏秒平衡

圖3所示為穩態下的電感電流、電壓以及輸出電壓波形。實際輸出電壓vo( t )由直流分量和交流紋波分量構成：

圖3 電感電流、電壓及輸出電壓波形

實際設計中，輸出電壓紋波分量幅值遠小于直流分量幅值（如：Δvo≤1%Vo），即：

利用小紋波近似，可得：

圖4所示為Buck變換器在開關管導通和關斷狀態下的等效電路。利用小紋波近似做開關管導通期間和關斷期間的分析。

圖4 Buck變換器開關狀態等效電路

①開關管導通期間，電感兩端電壓vL(t)為：

利用小紋波近似，可得：

所以在開關管導通期間，電感兩端電壓基本恒定，其與電流的關系為：

進而可得電感電流上升斜率為：

因為上升斜率恒定，所以電感電流線性增加。

②在開關管關斷期間，電感兩端電壓vL(t)為：

利用小紋波近似，可得：

所以在開關管關斷期間，電感兩端電壓同樣恒定，可得電感電流下降斜率為：

因為下降斜率恒定，因此電感電流線性減小。

結合式(7)、式(10)以及圖3，可得穩態下電感電流峰值與谷值差值ΔI為：

進而可得電感感量為：

以上分析均在穩態條件下利用小紋波近似對變換器進行分析；在暫態時，變換器工作過程分析如下。

圖5所示為電感電流的暫態過程波形。假設在t=0時，變換器開始工作，則電感電流和輸出電壓初始狀態均為0。

圖5 電感電流暫態過程波形

在第一個開關周期內，開關管導通期間，輸出電壓為0，則電感兩端電壓為：

電感電流上升斜率krise最大，為：

開關管關斷期間，電感兩端電壓為：

電感電流下降斜率kfall最小，為：

因此，在第一個開關周期內，電感電流呈凈增加，即：iL(Ts)-iL(0)>0。在整個暫態過程中，電感電流終值≠初始值（因為t=0時電感電流為0，而要使得電感能夠儲備能量，在暫態過程中的每一個周期內，電感電流的終值都一定大于初始值），所以無法利用二者相等的條件求解電路的狀態方程，在暫態過程中只能逐步迭代去求解任意時刻的電流值（在整個暫態過程中，電感電流在開關管導通期間的上升斜率由最大值逐漸減小，在開關管關斷期間的下降斜率由最小值逐漸增大，直至電感電流凈增量為0達到穩態）。

由于電感電流流向輸出端，所以輸出電容被充電，電容電壓也逐漸建立。在電感電流迭代的同時，輸出電容電壓也在迭代（在整個暫態過程中，電容電壓在開關管導通期間上升斜率由最大值逐漸減小，在開關管關斷期間下降斜率由最小值逐漸增大，直至電容電壓凈增量為0達到穩態）。

當變換器達到穩態時時，每個開關周期中電感電流與電容電壓的終值和初始值之間的關系為：

在一個開關周期內，對式(6)中的等號兩端同時積分：

可得，在穩態條件下，施加在電感兩端電壓的積分一定為0，即電感電壓vL(t)在一個周期下的總面積為0或伏秒積為0，稱此為伏秒平衡。

將式(19)兩端同時除以Ts，可得：

對圖3中電感電壓積分求得總面積 S ：

則電感兩端平均電壓為：

由式(22)可得輸出電壓表達式為：

因此，通過電感的伏秒平衡可以推導出變換器輸出電壓的直流分量表達式，且其具有通用性，即其適用于任何變換器，只需勾勒出施加在電感上的電壓波形，利用其平均值為0即可。

03電容安秒平衡

電容電流表達式為：

對式(24)中的等號兩端同時積分，可得：

可得，在穩態條件下，施加在電容兩端的電流積分一定為0，即電容電流iC(t)在一個周期下的總面積為0或安秒積為0，稱此為安秒平衡。

將式(26)兩端同時除以Ts，可得電容平均電流為：

通過電容的安秒平衡可以推導出變換器穩態電流表達式。

總結：如果對電感施加直流電壓，則磁通量將持續增加，電感電流將無限制地增加；如果向電容器施加直流電流，則電容器將連續充電，其電壓將無限增加。因此在穩態條件下，電感一定滿足伏秒平衡，電容一定滿足安秒平衡。