FFT原理通俗易懂的解釋

傅里葉變換（Fourier Transform，簡稱FFT）是一個廣泛應用的數學工具，它可以將一個連續或離散信號分解成一系列單一的正弦函數，這些正弦函數名稱為頻率成分或頻譜。應用FFT技術可以在音頻、圖像和信號處理等領域得到廣泛運用，它能夠幫助工程師和科學家對信號進行分析和處理，從而更好地理解和控制數據。

所以，什么是傅里葉變換呢？它是一個數學公式，將一個復雜的信號轉換為一系列正弦和余弦波的線性組合，形成頻域上的頻率譜圖。換句話說，傅里葉變換之后，我們能夠看到信號中所有可能的頻率成分或者說是各個頻率變化對信號的貢獻。這個過程就被稱為頻域分析或頻譜分析。

相信你在學習傅里葉變換的時候會發現它分為離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）兩種。兩者都可以將信號分解為各個頻率成分，它們的不同之處在于計算復雜度和計算速度。

DFT是一種基礎的傅里葉變換，他在計算頻譜時需要進行N^2次運算，也就是說，它的時間復雜度是平方級別的。這種計算方式對于較小的信號算法足以勝任，但對于大型復雜的信號進行計算則體驗不佳。

為了解決這個問題，快速傅里葉變換（FFT）被發明出來，它是利用數學技巧和算法的改進來簡化DFT計算。其時間復雜度可以降到O(NlogN)的級別，這項技術的主要優點在于它可以在多個計算平臺上運行，包括腳本語言、高級語言、甚至是硬件加速器。因此，它成為信號處理領域的最佳選擇。

那么，FFT是如何工作的呢？首先，它將輸入的信號轉換為離散復數值。也就是通過采樣將連續信號轉化為離散信號，然后進行頻率變換。實質上，FFT所做的便是從時域上轉化為頻域上。

其次，FFT進行信號頻率分解的原理是正弦余弦基函數，也稱為正交函數。由于正弦余弦函數是一種周期函數，具有周期為2π/f的特性，因此在頻率分解方面具有很好的適用性。通過將信號分割成均勻的 “間隔” 、在輸入點上對離散數據進行“放大、平移、縮放”的處理，然后計算離散數據點的傅里葉變換，從而得到離散信號頻率譜。

最后，通過轉化得到的頻率譜圖可以進行進一步的數字信號處理。

總的來說，FFT是一種非常有用的數學工具，它可以將信號中的所有可能頻率分量展現出來，進而方便我們進行數據處理、信號分析等工作。FFT的發明和應用可以極大地幫助人們更深入地理解信號，同時也為科學和工程領域提供了更廣闊的應用前景。