概述

本篇文章從一維例子出發，介紹自適應有限元中幾種常見的后驗誤差，并且對比各自的優勢。

后驗誤差按照實現方式，可以分為：基于恢復梯度的后驗誤差；基于殘差的后驗誤差；基于物理場規律的后驗誤差；以及試測的基于純粹梯度的后驗誤差。下面就這幾種后驗誤差給出常見的表達式與測試結果。

1.幾種后驗誤差的基本原理

A.基于恢復梯度

這種后驗誤差在之前介紹過，其基于理論：仿真數值解的精度在未知點位置的精度最高；數值解的梯度在高斯點位置精度最高；

因此可以通過獲取單元內高斯點的高精度梯度解，進而通過插值等方式獲得整個區域內其他精度低位置的梯度值，對比即可獲得每個單元的梯度誤差。詳細可參考：

B.基于殘差的后驗誤差

這種后驗誤差基于微分方程，根據理論，有限元求解求解結果一定是滿足原微分方程的，因此將數值解帶入到微分方程中，等式兩邊理論上應該成立。但是由于有限元本身求解的是弱解問題，因此存在一定誤差，而這誤差則可以用來評價該點的精度，以此作為后驗誤差。

一般的微分方程可以寫成：

基于殘差的后驗誤差表示為：

C.基于物理場規律的后驗誤差

這種后驗誤差基于本身研究問題的物理規律，根據物理規律，指定每個單元上的誤差標準。

例如一維電磁場衰減，物理場滿足電場、磁場在節點上連續；有限元本身只保證了電場連續，因此可以通過求解節點兩側單元的磁場是否連續作為誤差判斷標準。

式子表示，使用內部節點兩側單元求解該點的磁場，兩者的差值作為判斷單元計算精度的標準。其實不難發現，本例子描述的基于物理規律后驗誤差本質上是恢復梯度的后驗誤差。在二維三維中則不是如此。

D.基于純粹梯度的后驗誤差

這是作者梯度原理猜想的一種后驗誤差，其原理是：對于只要求表面節點精度而言，求解該點對于每個單元的梯度，因此獲得每個單元對于該點的影響程度，對于影響大的網格進行加密。

由于測試案例使用簡單的一維模型，因此采用擾動法求解梯度矩陣。

2.測試

本次測試案例以一維電磁場衰減為例，分別對上述幾種后驗誤差進行測試，其中A、C在本例中是一種后驗誤差。測試標準以在研究區域發射電場表面的電阻率變化為標準。

A.測試一維電場在均勻介質中的傳播規律

初始網格與計算的電場如下，10個均勻網格單元，頻率10000Hz。該網格計算的視電阻率為138歐姆米，與理論值100相差甚遠。

a.基于恢復梯度A、物理場C的后驗誤差測試結果：

b.基于殘差B的后驗誤差測試結果：

c.基于純粹梯度D的后驗誤差測試結果：

不難看出，三種后驗誤差加密得到的網格差異明顯。

從電場本身的精度來看，基于恢復梯度的A、C后驗誤差的精度最大，而純粹基于梯度D的后驗誤差精度最低。

從加密程度看，基于純粹梯度D的加密集中在0點附近；而基于恢復梯度A、C則相對分散開；

從視電阻率精度結果來，三者誤差均達到了可控范圍0.01%內，但是基于恢復梯度A、C的網格量大于基于殘差B大于純粹梯度D。

因此，如果考慮視電阻率精度與網格量角度來看，基于純粹梯度的方式D是最佳的。其次是基于殘差，最后才是基于恢復梯度。

B.測試一維電場在非均勻介質中的傳播規律

一維材料參數模型如下，在研究區域內存在低阻1歐姆米的區域。

a.基于恢復梯度A、物理場C的后驗誤差測試結果：

b.基于殘差B的后驗誤差測試結果：

c.基于純粹梯度D的后驗誤差測試結果：

三種后驗誤差的視電阻率在該頻率下的計算結果：

上述測試的視電阻率理論結果為123.91，可見整體上看基于殘差的后驗誤差的精度和網格量是最佳的。純粹基于梯度D的結果精度要稍微低一些。繼續測試了幾組頻率，對比結果：

整體來說，基于殘差B的后驗誤差方式的效果是最佳的，網格量少，視電阻率也幾乎和理論解一致；基于恢復梯度的A、C精度是最高的，但是網格量也是最大的；基于純粹梯度的D在頻率500Hz的時候誤差太大。

3.總結

使用一維模型，初步測試了幾種后驗誤差的自適應收斂效果，其中整體上最佳方案是基于殘差的后驗誤差，其次是基于恢復梯度、基于物理磁場；基于純粹梯度的后驗誤差雖然網格量有時候很少，但是可能會計算不準確。