說(shuō)到如何用Python執(zhí)行線性回歸，大部分人會(huì)立刻想到用sklearn的linear_model，但事實(shí)是，Python至少有8種執(zhí)行線性回歸的方法，sklearn并不是最高效的。

今天，讓我們來(lái)談?wù)劸€性回歸。沒(méi)錯(cuò)，作為數(shù)據(jù)科學(xué)界元老級(jí)的模型，線性回歸幾乎是所有數(shù)據(jù)科學(xué)家的入門必修課。拋開(kāi)涉及大量數(shù)統(tǒng)的模型分析和檢驗(yàn)不說(shuō)，你真的就能熟練應(yīng)用線性回歸了么？未必！

在這篇文章中，文摘菌將介紹8種用Python實(shí)現(xiàn)線性回歸的方法。了解了這8種方法，就能夠根據(jù)不同需求，靈活選取最為高效的方法實(shí)現(xiàn)線性回歸。

“寶刀不老”的線性回歸

時(shí)至今日，深度學(xué)習(xí)早已成為數(shù)據(jù)科學(xué)的新寵。即便往前推10年，SVM、boosting等算法也能在準(zhǔn)確率上完爆線性回歸。

為什么我們還需要線性回歸呢？

一方面，線性回歸所能夠模擬的關(guān)系其實(shí)遠(yuǎn)不止線性關(guān)系。線性回歸中的“線性”指的是系數(shù)的線性，而通過(guò)對(duì)特征的非線性變換，以及廣義線性模型的推廣，輸出和特征之間的函數(shù)關(guān)系可以是高度非線性的。另一方面，也是更為重要的一點(diǎn)，線性模型的易解釋性使得它在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、商學(xué)等領(lǐng)域中占據(jù)了難以取代的地位。

那么，如何用Python來(lái)實(shí)現(xiàn)線性回歸呢？

由于機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)scikit-learn的廣泛流行，常用的方法是從該庫(kù)中調(diào)用linear_model來(lái)擬合數(shù)據(jù)。雖然這可以提供機(jī)器學(xué)習(xí)的其他流水線特征（例如：數(shù)據(jù)歸一化，模型系數(shù)正則化，將線性模型傳遞到另一個(gè)下游模型）的其他優(yōu)點(diǎn)，但是當(dāng)一個(gè)數(shù)據(jù)分析師需要快速而簡(jiǎn)便地確定回歸系數(shù)（和一些基本相關(guān)統(tǒng)計(jì)量）時(shí)，這通常不是最快速簡(jiǎn)便的方法。

下面，我將介紹一些更快更簡(jiǎn)潔的方法，但是它們所提供信息量和建模的靈活性不盡相同。

各種線性回歸方法的完整源碼都可以在文末的GitHub鏈接中找到。他們大多數(shù)都依賴于SciPy包。

SciPy是基于Python的Numpy擴(kuò)展構(gòu)建的數(shù)學(xué)算法和函數(shù)的集合。通過(guò)為用戶提供便于操作和可視化數(shù)據(jù)的高級(jí)命令和類，為交互式Python會(huì)話增加了強(qiáng)大的功能。

8種方法實(shí)現(xiàn)線性回歸

方法一：Scipy.polyfit( ) or numpy.polyfit( )

這是一個(gè)最基本的最小二乘多項(xiàng)式擬合函數(shù)（least squares polynomial fit function），接受數(shù)據(jù)集和任何維度的多項(xiàng)式函數(shù)（由用戶指定），并返回一組使平方誤差最小的系數(shù)。這里給出函數(shù)的詳細(xì)描述。對(duì)于簡(jiǎn)單的線性回歸來(lái)說(shuō)，可以選擇1維函數(shù)。但是如果你想擬合更高維的模型，則可以從線性特征數(shù)據(jù)中構(gòu)建多項(xiàng)式特征并擬合模型。

方法二：Stats.linregress( )

這是一個(gè)高度專業(yè)化的線性回歸函數(shù)，可以在SciPy的統(tǒng)計(jì)模塊中找到。然而因?yàn)樗鼉H被用來(lái)優(yōu)化計(jì)算兩組測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘回歸，所以其靈活性相當(dāng)受限。因此，不能使用它進(jìn)行廣義線性模型和多元回歸擬合。但是，由于其特殊性，它是簡(jiǎn)單線性回歸中最快速的方法之一。除了擬合的系數(shù)和截距項(xiàng)之外，它還返回基本統(tǒng)計(jì)量，如R2系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。

方法三：Optimize.curve_fit( )

這與Polyfit方法是一致的，但本質(zhì)上更具一般性。這個(gè)強(qiáng)大的函數(shù)來(lái)自scipy.optimize模塊，可以通過(guò)最小二乘最小化將任意的用戶自定義函數(shù)擬合到數(shù)據(jù)集上。

對(duì)于簡(jiǎn)單的線性回歸來(lái)說(shuō)，可以只寫一個(gè)線性的mx + c函數(shù)并調(diào)用這個(gè)估計(jì)函數(shù)。不言而喻，它也適用于多元回歸，并返回最小二乘度量最小的函數(shù)參數(shù)數(shù)組以及協(xié)方差矩陣。

方法四：numpy.linalg.lstsq

這是通過(guò)矩陣分解計(jì)算線性方程組的最小二乘解的基本方法。來(lái)自numpy包的簡(jiǎn)便線性代數(shù)模塊。在該方法中，通過(guò)計(jì)算歐幾里德2-范數(shù)||b-ax||2最小化的向量x來(lái)求解等式ax = b。

該方程可能有無(wú)數(shù)解、唯一解或無(wú)解。如果a是方陣且滿秩，則x（四舍五入）是方程的“精確”解。

你可以使用這個(gè)方法做一元或多元線性回歸來(lái)得到計(jì)算的系數(shù)和殘差。一個(gè)小訣竅是，在調(diào)用函數(shù)之前必須在x數(shù)據(jù)后加一列1來(lái)計(jì)算截距項(xiàng)。這被證明是更快速地解決線性回歸問(wèn)題的方法之一。

方法五：Statsmodels.OLS ( )

Statsmodels是一個(gè)小型的Python包，它為許多不同的統(tǒng)計(jì)模型估計(jì)提供了類和函數(shù)，還提供了用于統(tǒng)計(jì)測(cè)試和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)探索的類和函數(shù)。每個(gè)估計(jì)對(duì)應(yīng)一個(gè)泛結(jié)果列表。可根據(jù)現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)包進(jìn)行測(cè)試，從而確保統(tǒng)計(jì)結(jié)果的正確性。

對(duì)于線性回歸，可以使用該包中的OLS或一般最小二乘函數(shù)來(lái)獲得估計(jì)過(guò)程中的完整的統(tǒng)計(jì)信息。

一個(gè)需要牢記的小技巧是，必須手動(dòng)給數(shù)據(jù)x添加一個(gè)常數(shù)來(lái)計(jì)算截距，否則默認(rèn)情況下只會(huì)得到系數(shù)。以下是OLS模型的完整匯總結(jié)果的截圖。結(jié)果中與R或Julia等統(tǒng)計(jì)語(yǔ)言一樣具有豐富的內(nèi)容。

方法六和七：使用矩陣的逆求解析解

對(duì)于條件良好的線性回歸問(wèn)題（其中，至少滿足數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)>特征數(shù)量），系數(shù)求解等價(jià)于存在一個(gè)簡(jiǎn)單的閉式矩陣解，使得最小二乘最小化。由下式給出：

這里有兩個(gè)選擇：

(a)使用簡(jiǎn)單的乘法求矩陣的逆

(b)首先計(jì)算x的Moore-Penrose廣義偽逆矩陣，然后與y取點(diǎn)積。由于第二個(gè)過(guò)程涉及奇異值分解（SVD），所以它比較慢，但是它可以很好地適用于沒(méi)有良好條件的數(shù)據(jù)集。

方法八：sklearn.linear_model.LinearRegression( )

這是大多數(shù)機(jī)器學(xué)習(xí)工程師和數(shù)據(jù)科學(xué)家使用的典型方法。當(dāng)然，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，它可能被交叉驗(yàn)證和正則化的算法如Lasso回歸和Ridge回歸所取代，而不被過(guò)多使用，但是這些高級(jí)函數(shù)的核心正是這個(gè)模型本身。

八種方法效率比拼

作為一名數(shù)據(jù)科學(xué)家，應(yīng)該一直尋找準(zhǔn)確且快速的方法或函數(shù)來(lái)完成數(shù)據(jù)建模工作。如果模型本來(lái)就很慢，那么會(huì)對(duì)大數(shù)據(jù)集造成執(zhí)行瓶頸。

一個(gè)可以用來(lái)確定可擴(kuò)展性的好辦法是不斷增加數(shù)據(jù)集的大小，執(zhí)行模型并取所有的運(yùn)行時(shí)間繪制成趨勢(shì)圖。

下面是源代碼及其運(yùn)行結(jié)果（ https://github.com/tirthajyoti/PythonMachineLearning/blob/master/Linear_... ）。

由于其簡(jiǎn)單，即使多達(dá)1000萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，stats.linregress和簡(jiǎn)單的矩陣求逆還是最快速的方法。

簡(jiǎn)單矩陣逆求解的方案更快

作為數(shù)據(jù)科學(xué)家，我們必須一直探索多種解決方案來(lái)對(duì)相同的任務(wù)進(jìn)行分析和建模，并為特定問(wèn)題選擇最佳方案。

在本文中，我們討論了8種簡(jiǎn)單線性回歸的方法。大多數(shù)都可以擴(kuò)展到更一般化的多元和多項(xiàng)式回歸建模中。

本文的目標(biāo)主要是討論這些方法的相對(duì)運(yùn)行速度和計(jì)算復(fù)雜度。我們?cè)谝粋€(gè)數(shù)據(jù)量持續(xù)增加的合成數(shù)據(jù)集（最多達(dá)1000萬(wàn)個(gè)樣本）上進(jìn)行測(cè)試，并給出每種方法的運(yùn)算時(shí)間。

令人驚訝的是，與廣泛被使用的scikit-learnlinear_model相比，簡(jiǎn)單矩陣的逆求解的方案反而更加快速。