1.堆

堆(Heap))是一種重要的數據結構，是實現優先隊列(Priority Queues)首選的數據結構。由于堆有很多種變體，包括二項式堆、斐波那契堆等，但是這里只考慮最常見的就是二叉堆（以下簡稱堆）。

堆是一棵滿足一定性質的二叉樹，具體的講堆具有如下性質：父節點的鍵值總是不大于它的孩子節點的鍵值（小頂堆）, 堆可以分為小頂堆和大頂堆，這里以小頂堆為例，其主要包含的操作有：

insert()

extractMin

peek(findMin)

delete(i)

由于堆是一棵形態規則的二叉樹，因此堆的父節點和孩子節點存在如下關系：

設父節點的編號為i, 則其左孩子節點的編號為2*i+1, 右孩子節點的編號為2*i+2設孩子節點的編號為i, 則其父節點的編號為(i-1)/2

由于二叉樹良好的形態已經包含了父節點和孩子節點的關系信息，因此就可以不使用鏈表而簡單的使用數組來存儲堆。

要實現堆的基本操作，涉及到的兩個關鍵的函數

siftUp(i, x)： 將位置i的元素x向上調整，以滿足堆得性質，常常是用于insert后，用于調整堆；

siftDown(i, x)：同理，常常是用于delete(i)后，用于調整堆；

具體的操作如下：

privatevoidsiftUp(inti){

intkey = nums[i];

for(;i > 0;){

intp = (i - 1) >>> 1;

if(nums[p] <= key)

break;

nums[i] = nums[p];

i = p;

}

nums[i] = key;

}

privatevoidsiftDown(inti){

intkey = nums[i];

for(;i < nums.length / 2;){

intchild = (i << 1) + 1;

if(child + 1 < nums.length && nums[child] > nums[child+1])

child++;

if(key <= nums[child])

break;

nums[i] = nums[child];

i = child;

}

nums[i] = key;

}

可以看到siftUp和siftDown不停的在父節點和子節點之間比較、交換；在不超過logn的時間復雜度就可以完成一次操作。

有了這兩個基本的函數，就可以實現上述提及的堆的基本操作。

首先是如何建堆，實現建堆操作有兩個思路:

一個是不斷地insert（insert后調用的是siftUp）

另一個將原始數組當成一個需要調整的堆，然后自底向上地在每個位置i調用siftDown(i)，完成后我們就可以得到一個滿足堆性質的堆。這里考慮后一種思路：

通常堆的insert操作是將元素插入到堆尾，由于新元素的插入可能違反堆的性質，因此需要調用siftUp操作自底向上調整堆；堆移除堆頂元素操作是將堆頂元素刪除，然后將堆最后一個元素放置在堆頂，接著執行siftDown操作，同理替換堆頂元素也是相同的操作。

建堆

// 建立小頂堆

privatevoidbuildMinHeap(int[]nums){

intsize = nums.length;

for(intj = size / 2 - 1;j >= 0;j--)

siftDown(nums,j,size);

}

那么建堆操作的時間復雜度是多少呢？答案是O(n)。雖然siftDown的操作時間是logn，但是由于高度在遞減的同時，每一層的節點數量也在成倍減少，最后通過數列錯位相減可以得到時間復雜度是O(n)。

extractMin由于堆的固有性質，堆的根便是最小的元素，因此peek操作就是返回根nums[0]元素即可；若要將nums[0]刪除，可以將末尾的元素nums[n-1]覆蓋nums[0],然后將堆得size = size-1，調用siftDown(0)調整堆。時間復雜度為logn。

peek同上

delete(i)

刪除堆中位置為i的節點，涉及到兩個函數siftUp和siftDown，時間復雜度為logn,具體步驟是，

將元素last覆蓋元素i，然后siftDown

檢查是否需要siftUp

注意到堆的刪除操作，如果是刪除堆的根節點，則不用考慮執行siftUp的操作；若刪除的是堆的非根節點，則要視情況決定是siftDown還是siftUp操作，兩個操作是互斥的。

publicintdelete(inti){

intkey = nums[i];

//將last元素移動過來，先siftDown; 再視情況考慮是否siftUp

intlast = nums[i] = nums[size-1];

size--;

siftDown(i);

//check #i的node的鍵值是否確實發生改變（是否siftDown操作生效）,若發生改變，則ok,否則為確保堆性質，則需要siftUp

if(i < size && nums[i] == last){

System.out.println("delete siftUp");

siftUp(i);

}

returnkey;

}

case 1 :

刪除中間節點i21，將最后一個節點復制過來；

由于沒有進行siftDown操作，節點i的值仍然為6，因此為確保堆的性質，執行siftUp操作；

case 2

刪除中間節點i，將值為11的節點復制過來，執行siftDown操作；

由于執行siftDown操作后，節點i的值不再是11，因此就不用再執行siftUp操作了，因為堆的性質在siftDown操作生效后已經得到了保持。

可以看出，堆的基本操作都依賴于兩個核心的函數siftUp和siftDown；較為完整的Heap代碼如下：

classHeap{

privatefinalstaticintN = 100;//default size

privateint[]nums;

privateintsize;

publicHeap(int[]nums){

this.nums = nums;

this.size = nums.length;

heapify(this.nums);

}

publicHeap(){

this.nums = newint[N];

}

/**

* heapify an array, O(n)

* @param nums An array to be heapified.

*/

privatevoidheapify(int[]nums){

for(intj = (size - 1) >> 1;j >= 0;j--)

siftDown(j);

}

/**

* append x to heap

* O(logn)

* @param x

* @return

*/

publicintinsert(intx){

if(size >= this.nums.length)

expandSpace();

size += 1;

nums[size-1] = x;

siftUp(size-1);

returnx;

}

/**

* delete an element located in i position.

* O(logn)

* @param i

* @return

*/

publicintdelete(inti){

rangeCheck(i);

intkey = nums[i];

//將last元素覆蓋過來,先siftDown; 再視情況考慮是否siftUp;

intlast = nums[i] = nums[size-1];

size--;

siftDown(i);

//check #i的node的鍵值是否確實發生改變,若發生改變，則ok,否則為確保堆性質，則需要siftUp;

if(i < size && nums[i] == last)

siftUp(i);

returnkey;

}

/**

* remove the root of heap, return it's value, and adjust heap to maintain the heap's property.

* O(logn)

* @return

*/

publicintextractMin(){

rangeCheck(0);

intkey = nums[0],last = nums[size-1];

nums[0] = last;

size--;

siftDown(0);

returnkey;

}

/**

* return an element's index, if not exists, return -1;

* O(n)

* @param x

* @return

*/

publicintsearch(intx){

for(inti = 0;i < size;i++)

if(nums[i] == x)

returni;

return -1;

}

/**

* return but does not remove the root of heap.

* O(1)

* @return

*/

publicintpeek(){

rangeCheck(0);

returnnums[0];

}

privatevoidsiftUp(inti){

intkey = nums[i];

for(;i > 0;){

intp = (i - 1) >>> 1;

if(nums[p] <= key)

break;

nums[i] = nums[p];

i = p;

}

nums[i] = key;

}

privatevoidsiftDown(inti){

intkey = nums[i];

for(;i < size / 2;){

intchild = (i << 1) + 1;

if(child + 1 < size && nums[child] > nums[child+1])

child++;

if(key <= nums[child])

break;

nums[i] = nums[child];

i = child;

}

nums[i] = key;

}

privatevoidrangeCheck(inti){

if(!(0 <= i && i < size))

thrownewRuntimeException("Index is out of boundary");

}

privatevoidexpandSpace(){

this.nums = Arrays.copyOf(this.nums,size *2);

}

@Override

publicStringtoString(){

// TODO Auto-generated method stub

StringBuilder sb = newStringBuilder();

sb.append("[");

for(inti = 0;i < size;i++)

sb.append(String.format((i != 0?", " : "") + "%d",nums[i]));

sb.append("] ");

returnsb.toString();

}

}

2.堆的應用：堆排序

運用堆的性質，我們可以得到一種常用的、穩定的、高效的排序算法————堆排序。堆排序的時間復雜度為O(n*log(n))，空間復雜度為O(1)，堆排序的思想是：對于含有n個元素的無序數組nums, 構建一個堆(這里是小頂堆)heap，然后執行extractMin得到最小的元素，這樣執行n次得到序列就是排序好的序列。如果是降序排列則是小頂堆；否則利用大頂堆。

Trick

由于extractMin執行完畢后，最后一個元素last已經被移動到了root，因此可以將extractMin返回的元素放置于最后，這樣可以得到sort in place的堆排序算法。

具體操作如下：

int[]n = newint[]{1,9,5,6,8,3,1,2,5,9,86};

Heaph = newHeap(n);

for(inti = 0;i < n.length;i++)

n[n.length-1-i] = h.extractMin();

當然，如果不使用前面定義的heap，則可以手動寫堆排序，由于堆排序設計到建堆和extractMin， 兩個操作都公共依賴于siftDown函數，因此我們只需要實現siftDown即可。(trick:由于建堆操作可以采用siftUp或者siftDown，而extractMin是需要siftDown操作，因此取公共部分，則采用siftDown建堆)。

這里便于和前面統一，采用小頂堆數組進行降序排列。

publicvoidheapSort(int[]nums){

intsize = nums.length;

buildMinHeap(nums);

while(size != 0){

// 交換堆頂和最后一個元素

inttmp = nums[0];

nums[0] = nums[size - 1];

nums[size - 1] = tmp;

size--;

siftDown(nums,0,size);

}

}

// 建立小頂堆

privatevoidbuildMinHeap(int[]nums){

intsize = nums.length;

for(intj = size / 2 - 1;j >= 0;j--)

siftDown(nums,j,size);

}

privatevoidsiftDown(int[]nums,inti,intnewSize){

intkey = nums[i];

while(i < newSize >>> 1){

intleftChild = (i << 1) + 1;

intrightChild = leftChild + 1;

// 最小的孩子，比最小的孩子還小

intmin = (rightChild >= newSize || nums[leftChild] < nums[rightChild])?leftChild : rightChild;

if(key <= nums[min])

break;

nums[i] = nums[min];

i = min;

}

nums[i] = key;

}

3.堆的應用：優先隊列

優先隊列是一種抽象的數據類型，它和堆的關系類似于，List和數組、鏈表的關系一樣；我們常常使用堆來實現優先隊列，因此很多時候堆和優先隊列都很相似，它們只是概念上的區分。優先隊列的應用場景十分的廣泛：常見的應用有：

Dijkstra’s algorithm（單源最短路問題中需要在鄰接表中找到某一點的最短鄰接邊，這可以將復雜度降低。）

Huffman coding（貪心算法的一個典型例子，采用優先隊列構建最優的前綴編碼樹(prefixEncodeTree)）

Prim’s algorithm for minimum spanning tree

Best-first search algorithms

這里簡單介紹上述應用之一：Huffman coding。

Huffman編碼是一種變長的編碼方案，對于每一個字符，所對應的二進制位串的長度是不一致的，但是遵守如下原則：

出現頻率高的字符的二進制位串的長度小

不存在一個字符c的二進制位串s是除c外任意字符的二進制位串的前綴

遵守這樣原則的Huffman編碼屬于變長編碼，可以無損的壓縮數據，壓縮后通常可以節省20%-90%的空間，具體壓縮率依賴于數據的固有結構。

Huffman編碼的實現就是要找到滿足這兩種原則的字符-二進制位串對照關系，即找到最優前綴碼的編碼方案（前綴碼：沒有任何字符編碼后的二進制位串是其他字符編碼后位串的前綴）。這里我們需要用到二叉樹來表達最優前綴碼，該樹稱為最優前綴碼樹一棵最優前綴碼樹看起來像這樣：

算法思想：用一個屬性為freqeunce關鍵字的最小優先隊列Q,將當前最小的兩個元素x,y合并得到一個新元素z（z.frequence = x.freqeunce + y.frequence）,然后插入到優先隊列中Q中，這樣執行n-1次合并后，得到一棵最優前綴碼樹（這里不討論算法的證明）。

一個常見的構建流程如下：

樹中指向某個節點左孩子的邊上表示位0,指向右孩子的邊上的表示位1，這樣遍歷一棵最優前綴碼樹就可以得到對照表。

import java.util.Comparator;

import java.util.HashMap;

import java.util.Map;

import java.util.PriorityQueue;

/**

*

*root

*/

*--------- ----------

*|c:freq | | c:freq |

*--------- ----------

*

*

*/

publicclassHuffmanEncodeDemo{

publicstaticvoidmain(String[]args){

// TODO Auto-generated method stub

Node[]n = newNode[6];

float[]freq = newfloat[]{9,5,45,13,16,12};

char[]chs = newchar[]{'e','f','a','b','d','c'};

HuffmanEncodeDemo demo = newHuffmanEncodeDemo();

Node root = demo.buildPrefixEncodeTree(n,freq,chs);

Map collector = newHashMap<>();

StringBuilder sb = newStringBuilder();

demo.tranversalPrefixEncodeTree(root,collector,sb);

System.out.println(collector);

Strings = "abcabcefefefeabcdbebfbebfbabc";

StringBuilder sb1 = newStringBuilder();

for(charc : s.toCharArray()){

sb1.append(collector.get(c));

}

System.out.println(sb1.toString());

}

publicNode buildPrefixEncodeTree(Node[]n,float[]freq,char[]chs){

PriorityQueue pQ = newPriorityQueue<>(newComparator(){

publicintcompare(Node o1,Node o2){

returno1.item.freq > o2.item.freq?1 : o1.item.freq == o2.item.freq?0 : -1;

};

});

Nodee = null;

for(inti = 0;i < chs.length;i++){

n[i] = e = newNode(null,null,newItem(chs[i],freq[i]));

pQ.add(e);

}

for(inti = 0;i < n.length - 1;i++){

Nodex = pQ.poll(),y = pQ.poll();

Nodez = newNode(x,y,newItem('$',x.item.freq + y.item.freq));

pQ.add(z);

}

returnpQ.poll();

}

/**

* tranversal

* @param root

* @param collector

* @param sb

*/

publicvoidtranversalPrefixEncodeTree(Node root,Map collector,StringBuilder sb){

// leaf node

if(root.left == null && root.right == null){

collector.put(root.item.c,sb.toString());

return;

}

Node left = root.left,right = root.right;

tranversalPrefixEncodeTree(left,collector,sb.append(0));

sb.delete(sb.length() - 1,sb.length());

tranversalPrefixEncodeTree(right,collector,sb.append(1));

sb.delete(sb.length() - 1,sb.length());

}

}

classNode{

publicNode left,right;

publicItem item;

publicNode(Node left,Node right,Item item){

super();

this.left = left;

this.right = right;

this.item = item;

}

}

classItem{

publiccharc;

publicfloatfreq;

publicItem(charc,floatfreq){

super();

this.c = c;

this.freq = freq;

}

}

輸出如下：

{a=0,b=101,c=100,d=111,e=1101,f=1100}

010110001011001101110011011100110111001101010110011110111011011100101110110111001010101100

4 堆的應用：海量實數中（一億級別以上）找到TopK（一萬級別以下）的數集合。

A:通常遇到找一個集合中的TopK問題，想到的便是排序，因為常見的排序算法例如快排算是比較快了，然后再取出K個TopK數，時間復雜度為O(nlogn)，當n很大的時候這個時間復雜度還是很大的；

B:另一種思路就是打擂臺的方式,每個元素與K個待選元素比較一次，時間復雜度很高：O(k*n)，此方案明顯遜色于前者。

對于一億數據來說，A方案大約是26.575424*n；

C:由于我們只需要TopK，因此不需要對所有數據進行排序，可以利用堆得思想，維護一個大小為K的小頂堆，然后依次遍歷每個元素e, 若元素e大于堆頂元素root，則刪除root，將e放在堆頂，然后調整，時間復雜度為logK；若小于或等于，則考察下一個元素。這樣遍歷一遍后，最小堆里面保留的數就是我們要找的topK，整體時間復雜度為O(k+n*logk)約等于O(n*logk)，大約是13.287712*n（由于k與n數量級差太多），這樣時間復雜度下降了約一半。

A、B、C三個方案中，C通常是優于B的，因為logK通常是小于k的，當K和n的數量級相差越大，這種方式越有效。

以下為具體操作：

import java.io.File;

import java.io.FileNotFoundException;

import java.io.PrintWriter;

import java.io.UnsupportedEncodingException;

import java.util.Arrays;

import java.util.Scanner;

import java.util.Set;

import java.util.TreeSet;

publicclassTopKNumbersInMassiveNumbersDemo{

publicstaticvoidmain(String[]args){

// TODO Auto-generated method stub

int[]topK = newint[]{50001,50002,50003,50004,50005};

genData(1000 * 1000 * 1000,500,topK);

longt = System.currentTimeMillis();

findTopK(topK.length);

System.out.println(String.format("cost:%fs",(System.currentTimeMillis() - t) * 1.0 / 1000));

}

publicstaticvoidgenData(intN,intmaxRandomNumer,int[]topK){

Filef = newFile("data.txt");

intk = topK.length;

Set index = newTreeSet<>();

for(;;){

index.add((int)(Math.random() * N));

if(index.size() == k)

break;

}

System.out.println(index);

intj = 0;

try{

PrintWriter pW = newPrintWriter(f,"UTF-8");

for(inti = 0;i < N;i++)

if(!index.contains(i))

pW.println((int)(Math.random() * maxRandomNumer));

else

pW.println(topK[j++]);

pW.flush();

}catch(FileNotFoundExceptione){

// TODO Auto-generated catch block

e.printStackTrace();

}catch(UnsupportedEncodingExceptione){

// TODO Auto-generated catch block

e.printStackTrace();

}

}

publicstaticvoidfindTopK(intk){

int[]nums = newint[k];

//read

Filef = newFile("data.txt");

try{

Scanner scanner = newScanner(f);

for(intj = 0;j < k;j++)

nums[j] = scanner.nextInt();

heapify(nums);

//core

while(scanner.hasNextInt()){

inta = scanner.nextInt();

if(a <= nums[0])

continue;

else{

nums[0] = a;

siftDown(0,k,nums);

}

}

System.out.println(Arrays.toString(nums));

}catch(FileNotFoundExceptione){

// TODO Auto-generated catch block

e.printStackTrace();

}

}

//O(n), minimal heap

publicstaticvoidheapify(int[]nums){

intsize = nums.length;

for(intj = (size - 1) >> 1;j >= 0;j--)

siftDown(j,size,nums);

}

privatestaticvoidsiftDown(inti,intn,int[]nums){

intkey = nums[i];

for(;i < (n >>> 1);){

intchild = (i << 1) + 1;

if(child + 1 < n && nums[child] > nums[child+1])

child++;

if(key <= nums[child])

break;

nums[i] = nums[child];

i = child;

}

nums[i] = key;

}

}

ps:大致測試了一下，10億個數中找到top5需要140秒左右，應該是很快了。

5 總結

堆是基于樹的滿足一定約束的重要數據結構，存在許多變體例如二叉堆、二項式堆、斐波那契堆（很高效）等。

堆的幾個基本操作都依賴于兩個重要的函數siftUp和siftDown，堆的insert通常是在堆尾插入新元素并siftUp調整堆，而extractMin是在刪除堆頂元素，然后將最后一個元素放置堆頂并調用siftDown調整堆。

二叉堆是常用的一種堆，其是一棵二叉樹；由于二叉樹良好的性質，因此常常采用數組來存儲堆。堆得基本操作的時間復雜度如下表所示：

heapify	insert	peek	extractMin	delete(i)
O(n)	O(logn)	O(1)	O(logn)	O(logn)

二叉堆通常被用來實現堆排序算法，堆排序可以sort in place，堆排序的時間復雜度的上界是O(nlogn)，是一種很優秀的排序算法。由于存在相同鍵值的兩個元素處于兩棵子樹中，而兩個元素的順序可能會在后續的堆調整中發生改變，因此堆排序不是穩定的。降序排序需要建立小頂堆，升序排序需要建立大頂堆。

堆是實現抽象數據類型優先隊列的一種方式，優先隊列有很廣泛的應用，例如Huffman編碼中使用優先隊列利用貪心算法構建最優前綴編碼樹。

堆的另一個應用就是在海量數據中找到TopK個數，思想是維護一個大小為K的二叉堆，然后不斷地比較堆頂元素，判斷是否需要執行替換對頂元素的操作，采用此方法的時間復雜度為n*logk，當k和n的數量級差距很大的時候，這種方式是很有效的方法。

6 references

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure))

[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort

[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Priority_queue

[4]https://www.cnblogs.com/swiftma/p/6006395.html

[5] Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest, Clifford Stein.算法導論[M].北京:機械工業出版社,2015:245-249

[6] Jon Bentley.編程珠璣[M].北京:人民郵電出版社,2015:161-174

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