StackOverflow人氣答主（top 0.12%）Amro通過一個簡單的二元分類決策樹例子，簡明扼要地解釋了信息熵和信息增益這兩個概念。

為了解釋熵這個概念，讓我們想象一個分類男女名字的監督學習任務。給定一個名字列表，每個名字標記為m（男）或f（女），我們想要學習一個擬合數據的模型，該模型可以用來預測未見的新名字的性別。

現在我們想要預測“Amro”的性別（Amro是我的名字）。

第一步，我們需要判定哪些數據特征和我們想要預測的目標分類相關。一些特征的例子包括：首/末字母、長度、元音數量、是否以元音結尾，等等。所以，提取特征之后，我們的數據是這樣的：

我們可以構建一棵決策樹，一棵樹的例子：

長度<7

| 元音數量<3: 男

| 元音數量>=3

| | 元音結尾=1: 女

| | 元音結尾=0: 男

長度>=7

| 長度=5: 男

基本上，每個節點代表在單一屬性上進行的測試，我們根據測試的結果決定向左還是向右。我們持續沿著樹走，直到我們到達包含分類預測的葉節點（m或f）。

因此，如果我們運行這棵決策樹判定Amro，我們首次測試“長度<7？”答案為是，因此我們沿著分支往下，下一個測試是“元音數量<3？”答案同樣為真。這將我們導向標簽為m的葉節點，因此預測是男性（我碰巧是男性，因此這棵決策樹的預測正確）。

決策樹以自頂向下的方式創建，但問題在于如何選擇分割每個節點的屬性？答案是找到能將目標分類分割為盡可能純粹的子節點的特征（即：只包含單一分類的純粹節點優于同時包含男名和女名的混合節點）。

這一純粹性的量度稱為信息。它表示，給定到達節點的樣本，指定一個新實例（名字）應該被分類為男性或女性的期望的信息量。我們根據節點處的男名分類和女名分類的數量計算它。

另一方面，熵是不純粹性的量度（與信息相反）。對二元分類而言，熵的定義為：

Entropy = - p(a)*log(p(a)) - p(b)*log(p(b))

這一二元熵函數的圖像如下圖所示。當概率為p=1/2時，該函數達到其最大值，這意味著p(X=a)=0.5或類似的p(X=b)=0.5，即50%對50%的概率為a或b（不確定性最大）。當概率為p=1或p=0時（完全確定），熵函數達到其最小值零（p(X=a)=1或p(X=a)=0，后者意味著p(X=b)=1）。

當然，熵的定義可以推廣到有N個離散值（超過2）的隨機變量X：

（公式中的log通常為以2為底的對數）

回到我們的名字分類任務中，讓我們看一個例子。想象一下，在構建決策樹的過程中的某一點，我們考慮如下分割：

以元音結尾

[9m,5f]

/ \

=1 =0

------- -------

[3m,4f] [6m,1f]

如你所見，在分割前，我們有9個男名、5個女名，即P(m)=9/14，P(f)=5/14。根據熵的定義，分割前的熵為：

Entropy_before = - (5/14)*log2(5/14) - (9/14)*log2(9/14) = 0.9403

接下來我們將其與分割后的熵比較。在以元音結尾為真=1的左分支中，我們有：

Entropy_left = - (3/7)*log2(3/7) - (4/7)*log2(4/7) = 0.9852

而在以元音結尾為假=0的右分支中，我們有：

Entropy_right = - (6/7)*log2(6/7) - (1/7)*log2(1/7) = 0.5917

我們以每個分支上的實例數量作為權重因子（7個實例向左，7個實例向右），得出分割后的最終權重：

Entropy_after = 7/14*Entropy_left + 7/14*Entropy_right = 0.7885

現在比較分割前后的權重，我們得到信息增益的這一量度，也就是說，基于特定特征進行分割后，我們獲得了多少信息：

Information_Gain = Entropy_before - Entropy_after = 0.1518

你可以如此解釋以上運算：通過以“元音結尾”特征進行分割，我們得以降低子樹預測輸出的不確定性，降幅為一個較小的數值0.1518（單位為比特，比特為信息單位）。

在樹的每一個節點，為每個特征進行這一運算，以貪婪的方式選擇可以取得最大信息增益的特征進行分割（從而偏好產生較低不確定性/熵的純分割）。從根節點向下遞歸應用此過程，停止于包含的節點均屬同一分類的葉節點（不用再進一步分割了）。

注意，我省略了超出本文范圍的一些細節，包含如何處理數值特征、缺失特征、過擬合、剪枝樹，等等。