一、圖靈機(jī)

根據(jù)有限狀態(tài)控制器的當(dāng)前狀態(tài)及每個讀寫頭讀到的帶符號，圖靈機(jī)的一個計算步可實(shí)現(xiàn)下面3個操作之一或全部。

改變有限狀態(tài)控制器中的狀態(tài)。

清除當(dāng)前讀寫頭下的方格中原有帶符號并寫上新的帶符號。

獨(dú)立地將任何一個或所有讀寫頭，向左移動一個方格(L)或向右移動一個方格(R)或停在當(dāng)前單元不動(S)。

k帶圖靈機(jī)可形式化地描述為一個7元組(Q，T，I，δ，b，q0，qf)，其中:

Q是有限個狀態(tài)的集合。

T是有限個帶符號的集合。

I是輸入符號的集合。

b是唯一的空白符，b∈T-I。

q0是初始狀態(tài)。

qf是終止(或接受)狀態(tài)。

δ是移動函數(shù)。

它是從Q×Tk的某一子集映射到Q×(T×{L，R，S})k的函數(shù)。

圖靈機(jī)M的時間復(fù)雜性T(n)是它處理所有長度為n的輸入所需的最大計算步數(shù)。如果對某個長度為n的輸入，圖靈機(jī)不停機(jī)，T(n)對這個n值無定義。

圖靈機(jī)的空間復(fù)雜性S(n)是它處理所有長度為n的輸入時，在k條帶上所使用過的方格數(shù)的總和。如果某個讀寫頭無限地向右移動而不停機(jī)，S(n)也無定義。

確定型圖靈機(jī)

有限狀態(tài)集Q，狀態(tài)q0:初始狀態(tài)；qy：接受狀態(tài)；狀態(tài)qn：不接受狀態(tài)。

字符集合{0, 1, b} ；其中b是空格符。

轉(zhuǎn)換功能：

輸入x = 101000b

執(zhí)行順序：

q0輸入1 （q0,r）右移磁頭到0

q0輸入0 （q0,r）右移磁頭到1

q0輸入0 （q0,r）右移磁頭到0

...

q0輸入b （q1,l）左移磁頭到0

q1輸入0 （q2,b）

q2輸入b （q2,l）左移磁頭到0

q2輸入0 （q3,b）

q3輸入b （qy，l）退出

二、P類與NP類問題

一般地說，將可由多項式時間算法求解的問題看作是易處理的問題，而將需要超多項式時間才能求解的問題看作是難處理的問題。

有許多問題，從表面上看似乎并不比排序或圖的搜索等問題更困難，然而至今人們還沒有找到解決這些問題的多項式時間算法，也沒有人能夠證明這些問題需要超多項式時間下界。

在圖靈機(jī)計算模型下，這類問題的計算復(fù)雜性至今未知。

為了研究這類問題的計算復(fù)雜性，人們提出了另一個能力更強(qiáng)的計算模型，即非確定性圖靈機(jī)計算模型，簡記為NDTM(Nondeterministic Turing Machine)。

在非確定性圖靈機(jī)計算模型下，許多問題可以在多項式時間內(nèi)求解。

非確定性圖靈機(jī)

在圖靈機(jī)計算模型中，移動函數(shù)δ是單值的，即對于Q′Tk中的每一個值，當(dāng)它屬于δ的定義域時，Q′(T′{L，R，S})k中只有唯一的值與之對應(yīng)，稱這種圖靈機(jī)為確定性圖靈機(jī)，簡記為DTM(Deterministic Turing Machine)。

非確定性圖靈機(jī)(NDTM）：一個k帶的非確定性圖靈機(jī)M是一個7元組：(Q，T，I，δ，b，q0，qf)。與確定性圖靈機(jī)不同的是非確定性圖靈機(jī)允許移動函數(shù)δ具有不確定性，即對于Q×Tk中的每一個值(q;x1,x2,…,xk)，當(dāng)它屬于δ的定義域時，Q×(T×{L，R，S})k中有唯一的一個子集δ(q;x1,x2,…,xk)與之對應(yīng)?？梢栽讦?q;x1,x2,…,xk)中隨意選定一個值作為它的函數(shù)值。

P類與NP類語言定義

P={L|L是一個能在多項式時間內(nèi)被一臺DTM所接受的語言}

NP={L|L是一個能在多項式時間內(nèi)被一臺NDTM所接受的語言}

由于一臺確定性圖靈機(jī)可看作是非確定性圖靈機(jī)的特例，所以可在多項式時間內(nèi)被確定性圖靈機(jī)接受的語言也可在多項式時間內(nèi)被非確定性圖靈機(jī)接受。故P í NP。

NP類語言舉例——無向圖的團(tuán)問題

該問題的輸入是一個有n個頂點(diǎn)的無向圖G=(V，E)和一個整數(shù)k。要求判定圖G是否包含一個k頂點(diǎn)的完全子圖(團(tuán))，即判定是否存在V’V，|V’|=k，且對于所有的u，v∈V’，有(u，v)∈E。

若用鄰接矩陣表示圖G，用二進(jìn)制串表示整數(shù)k，則團(tuán)問題的一個實(shí)例可以用長度為的二進(jìn)位串表示。因此，團(tuán)問題可表示為語言：

CLIQUE={w#v|w，v∈{0，1}*，以w為鄰接矩陣的圖G有一個k頂點(diǎn)的團(tuán)，其中v是k的二進(jìn)制表示。}

接受該語言CLIQUE的非確定性算法：用非確定性選擇指令選出包含k個頂點(diǎn)的候選頂點(diǎn)子集V，然后確定性地檢查該子集是否是團(tuán)問題的一個解。算法分為3個階段

算法的第一階段將輸入串w#v分解，并計算出n =?，以及用v表示的整數(shù)k。若輸入不具有形式w#v或|w|不是一個平方數(shù)就拒絕該輸入。顯而易見，第一階段可在時間內(nèi)完成。

在算法的第二階段中，非確定性地選擇V的一個k元子集V’V。

算法的第三階段是確定性地檢查V’的團(tuán)性質(zhì)。若V’是一個團(tuán)則接受輸入，否則拒絕輸入。這顯然可以在時間內(nèi)完成。因此，整個算法的時間復(fù)雜性為?。

非確定性算法在多項式時間內(nèi)接受語言CLIQUE，故CLIQUE∈NP.

NP完全問題

PNP。

直觀上看，P類問題是確定性計算模型下的易解問題類，而NP類問題是非確定性計算模型下的易驗證問題類。

大多數(shù)的計算機(jī)科學(xué)家認(rèn)為NP類中包含了不屬于P類的語言，即P≠NP。

NP完全問題有一種令人驚奇的性質(zhì)，即如果一個NP完全問題能在多項式時間內(nèi)得到解決，那么NP中的每一個問題都可以在多項式時間內(nèi)求解，即P = NP。

目前還沒有一個NP完全問題有多項式時間算法。

三、NP完全問題的近似算法

迄今為止，所有的NP完全問題都還沒有多項式時間算法。

對于這類問題，通常可采取以下幾種解題策略。

只對問題的特殊實(shí)例求解

用動態(tài)規(guī)劃法或分支限界法求解

用概率算法求解

只求近似解

用啟發(fā)式方法求解

近似算法的性能

若一個最優(yōu)化問題的最優(yōu)值為c*，求解該問題的一個近似算法求得的近似最優(yōu)解相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為c，則將該近似算法的性能比定義為

。

在通常情況下，該性能比是問題輸入規(guī)模n的一個函數(shù)ρ(n)，即

該近似算法的相對誤差定義為：。若對問題的輸入規(guī)模n，有一函數(shù)ε(n)使得則稱ε(n)為該近似算法的相對誤差界。近似算法的性能比ρ(n)與相對誤差界ε(n)之間顯然有如下關(guān)系：。

旅行售貨員問題近似算法

問題描述：給定一個完全無向圖G=(V,E)，其每一邊(u,v)∈E有一非負(fù)整數(shù)費(fèi)用c(u,v)。要找出G的最小費(fèi)用哈密頓回路。

旅行售貨員問題的一些特殊性質(zhì)：

比如，費(fèi)用函數(shù)c往往具有三角不等式性質(zhì)，即對任意的3個頂點(diǎn)u,v,w∈V，有：c(u,w)≤c(u,v)+c(v,w)。當(dāng)圖G中的頂點(diǎn)就是平面上的點(diǎn)，任意2頂點(diǎn)間的費(fèi)用就是這2點(diǎn)間的歐氏距離時，費(fèi)用函數(shù)c就具有三角不等式性質(zhì)。

1 滿足三角不等式的旅行售貨員問題

對于給定的無向圖G，可以利用找圖G的最小生成樹的算法設(shè)計找近似最優(yōu)的旅行售貨員回路的算法。

void approxTSP (Graph g)

{

選擇g的任一頂點(diǎn)r；

用Prim算法找出帶權(quán)圖g的一棵以r為根的最小生成樹T；

前序遍歷樹T得到的頂點(diǎn)表L；

將r加到表L的末尾，按表L中頂點(diǎn)次序組成回路H，作為計 算結(jié)果返回；

}

當(dāng)費(fèi)用函數(shù)滿足三角不等式時，算法找出的旅行售貨員回路的費(fèi)用不會超過最優(yōu)旅行售貨員回路費(fèi)用的2倍。

實(shí)現(xiàn)

/* 主題：近似算法——旅行售貨員問題

* 作者：chinazhangjie

* 郵箱：chinajiezhang@gmail.com

* 開發(fā)語言：C++

* 開發(fā)環(huán)境：Virsual Studio2005

* 時間: 2010.12.06

*/

#include

#include

#include

using namespace std;

structTreeNode

{

public:

TreeNode(intnVertexIndexA = 0,intnVertexIndexB = 0,intnWeight = 0)

: m_nVertexIndexA(nVertexIndexA),

m_nVertexIndexB(nVertexIndexB),

m_nWeight(nWeight)

{}

public:

intm_nVertexIndexA;

intm_nVertexIndexB;

intm_nWeight;

};

classMST_Prim

{

public:

MST_Prim()

{}

MST_Prim(const vector >& vnGraph)

{

m_nvGraph = vnGraph;

m_nNodeCount = (int)m_nvGraph.size();

}

void SetData(const vector >& vnGraph)

{

m_nvGraph = vnGraph;

m_nNodeCount = (int)m_nvGraph.size();

}

//

const vector& GetMSTree()const

{

returnm_tnMSTree;

}

//

const vector >& GetGraph()const

{

returnm_nvGraph;

}

void DoPrim()

{

// 是否被訪問標(biāo)志

vector bFlag(m_nNodeCount,false);

bFlag[0] = true;

intnMaxIndexA;

intnMaxIndexB;

intj = 0;

while(j < m_nNodeCount - 1){

intnMaxWeight = numeric_limits::max();

// 找到當(dāng)前最短路徑

inti = 0;

while(i < m_nNodeCount){

if(!bFlag[i]){

++ i;

continue;

}

for(intj = 0;j < m_nNodeCount; ++ j){

if(!bFlag[j] && nMaxWeight > m_nvGraph[i][j]){

nMaxWeight = m_nvGraph[i][j];

nMaxIndexA = i;

nMaxIndexB = j;

}

}

++ i;

}

bFlag[nMaxIndexB] = true;

m_tnMSTree.push_back(TreeNode(nMaxIndexA,nMaxIndexB,nMaxWeight));

++ j;

}

// 輸出結(jié)果

/*for(vector::const_iterator ite = m_tnMSTree.begin();

ite != m_tnMSTree.end();

++ ite){

cout << (*ite).m_nVertexIndexA << "->"

<< (*ite).m_nVertexIndexB << " : "

<< (*ite).m_nWeight << endl;

}*/

}

private:

vector > m_nvGraph;// 無向連通圖

vectorm_tnMSTree;// 最小生成樹

intm_nNodeCount;

};

classAA_TSP

{

public:

AA_TSP(const vector >& vnGraph)

{

m_mstPrim.SetData(vnGraph);

}

void Get_AA_Path()

{

m_mstPrim.DoPrim();

vectormstree = m_mstPrim.GetMSTree();

vector >graph = m_mstPrim.GetGraph();

intiweight = 0;

for(vector::const_iterator ite = mstree.begin();

ite != mstree.end();

++ ite){

cout << (*ite).m_nVertexIndexA << "->"

<< (*ite).m_nVertexIndexB << " : "

<< (*ite).m_nWeight << endl;

iweight += (*ite).m_nWeight;

}

cout << mstree[mstree.size()-1].m_nVertexIndexB << "->"

<< mstree[0].m_nVertexIndexA << " : "

<< graph[mstree[0].m_nVertexIndexA][mstree[mstree.size()-1].m_nVertexIndexB]

<< endl;

iweight += graph[mstree[0].m_nVertexIndexA][mstree[mstree.size()-1].m_nVertexIndexB];

cout << "Total weight: " << iweight??<< endl;

}

private:

MST_Primm_mstPrim;

};

intmain()

{

const intcnNodeCount = 5;

vector > graph(cnNodeCount);

for(size_ti = 0;i < graph.size(); ++ i){

graph[i].resize(cnNodeCount,numeric_limits::max());

}

graph[0][1] = 5;

graph[0][2] = 1;

graph[0][3] = 2;

graph[0][4] = 3;

graph[1][0] = 5;

graph[1][2] = 4;

graph[1][3] = 2;

graph[1][4] = 2;

graph[2][1] = 4;

graph[2][0] = 1;

graph[2][3] = 5;

graph[2][4] = 3;

graph[3][1] = 2;

graph[3][2] = 5;

graph[3][0] = 2;

graph[3][4] = 2;

graph[4][1] = 2;

graph[4][2] = 3;

graph[4][3] = 2;

graph[4][0] = 3;

AA_TSP aa(graph);

aa.Get_AA_Path();

return0;

}

2 一般的旅行售貨員問題

在費(fèi)用函數(shù)不一定滿足三角不等式的一般情況下，不存在具有常數(shù)性能比的解TSP問題的多項式時間近似算法，除非P=NP。換句話說，若P≠NP，則對任意常數(shù)ρ>1，不存在性能比為ρ的解旅行售貨員問題的多項式時間近似算法。