拓?fù)鋬?yōu)化有助于工程中在特定先驗 目標(biāo)的指導(dǎo)下，以更優(yōu)的方式進(jìn)行應(yīng)用設(shè)計，拓?fù)鋬?yōu)化主要應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，在熱學(xué)、電磁學(xué)和聲學(xué)領(lǐng)域亦有所應(yīng)用。直到去年，微觀聲學(xué)才出現(xiàn)在這個名單中。本篇文章介紹了一種包含熱粘性損耗的微觀聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化新方法。

標(biāo)準(zhǔn)聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化

之前一篇關(guān)于聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的文章概述了相關(guān)的基礎(chǔ)理論，并列舉了數(shù)個案例。聲學(xué)描述采用亥姆霍茲波動方程。借此方程，我們可以對各種不同應(yīng)用進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，比如揚聲器箱體、波導(dǎo)、室內(nèi)裝飾、反射器布置和類似的大型幾何結(jié)構(gòu)。

控制方程是標(biāo)準(zhǔn)的波動方程，材料參數(shù)通過密度 和體積模量 K 來指定。在拓?fù)鋬?yōu)化中，密度和體積模量通過變量 進(jìn)行插值。理想情況下，此插值變量采用二進(jìn)制值：0 代表空氣，1 代表固體。不過，在優(yōu)化過程中，它的值遵循插值公式，例如圖 1 的固體各向同性材料罰函數(shù)（solid isotropic material with penalization，簡稱 SIMP）模型。

圖 1：標(biāo)準(zhǔn)聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的密度和體積模量插值。為了在同一張繪圖中顯示兩個值，我們省略了單位。

該方法適用于那些可以忽略的熱粘性損耗（靠近壁面的聲學(xué)邊界層中）的應(yīng)用。優(yōu)化域可耦合到狹窄區(qū)域中，例如利用均質(zhì)模型來描述的狹窄區(qū)域（這是壓力聲學(xué)、頻域 接口中的狹窄區(qū)域聲學(xué) 特征）。不過，如果發(fā)生熱粘性損耗的狹窄區(qū)域自身的形狀產(chǎn)生了變化，此優(yōu)化算法便不再有效，波導(dǎo)橫截面變形便屬于此類情況。

熱粘性聲學(xué)（微觀聲學(xué)）

對于諸如助聽器、移動電話、特定超材料幾何結(jié)構(gòu)等微觀聲學(xué)應(yīng)用，聲學(xué)方程一般需要顯式添加熱粘性損耗，這是因為主要損耗發(fā)生在靠近壁的聲學(xué)邊界層中。下方圖 2 展示了上述效應(yīng)。

圖 2. 體內(nèi)場是聲壓，表面場是溫度變化，箭頭表示速度。

聲波從圓形截面管道的底部向頂部傳播。壓力顯示在 ? 旋轉(zhuǎn)繪圖中。

箭頭表示此特定頻率下的粒子速度。靠近邊界的粒子速度很慢，在邊界上趨近于零。然而在腔體內(nèi)，粒子按照歐拉方程以標(biāo)準(zhǔn)的聲學(xué)速度運動。在粘性作用下，空氣被“粘”到邊界上，因此邊界速度為零。鄰近的粒子也慢了下來，導(dǎo)致了總體能量損耗，或者說聲能轉(zhuǎn)換成了熱能（由于剪切產(chǎn)生的粘性耗散）。但是在腔體內(nèi)，分子可以自由地運動。

熱粘性聲學(xué)控制方程

對微觀聲學(xué)（包含與聲學(xué)邊界層的相關(guān)損耗）進(jìn)行詳細(xì)建模，這要求在靜態(tài)條件下求解一組線性納維-斯托克斯方程。COMSOL Multiphysics? 軟件的“聲學(xué)模塊”中的熱粘性聲學(xué) 物理場接口能實現(xiàn)這些方程。不過，若拓?fù)鋬?yōu)化需要應(yīng)用某些假設(shè)條件，該方程式則不適用。參考文獻(xiàn) 1 提出了基于亥姆霍茲分解的公式。該公式對于很多微觀聲學(xué)應(yīng)用均有效，并且能夠?qū)岵?、粘性波和壓縮（壓力）波解耦。一個近似但準(zhǔn)確的表達(dá)式（參考文獻(xiàn) 1）描述了速度和壓力梯度的關(guān)系：

其中，粘性場 是一個標(biāo)量的無量綱場，它描述了域內(nèi)條件與邊界條件之間的差異。

上方的彩色表面圖顯示了聲學(xué)溫度的變化。邊界上變化為零，是因為固體壁的導(dǎo)熱系數(shù)很高，但是腔內(nèi)的溫度變化可以利用等熵能量方程進(jìn)行計算。溫度變化和聲學(xué)壓力的關(guān)系可以寫作一般形式（參考文獻(xiàn) 1）：

其中，熱場 ?是一個標(biāo)量的無量綱場，它描述了域內(nèi)條件與邊界條件之間的差異。

我們會在下文中解釋，為何粘性場和熱場對于創(chuàng)建拓?fù)鋬?yōu)化算法必不可少。

熱粘性聲學(xué)應(yīng)用的拓?fù)鋬?yōu)化

與標(biāo)準(zhǔn)的聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化相反，熱粘性聲學(xué)沒有既定的插值公式。由于沒有準(zhǔn)確描述熱粘性物理現(xiàn)象的單方程系統(tǒng)（它通常需要三個控制方程），所以沒有明顯可插值的變量。本節(jié)將為您介紹一個新穎的算法。

為了簡單起見，我們只討論橫截面不變的波導(dǎo)內(nèi)的波傳播。這等效于稱為“Low Reduced Frequency”的模型，微觀聲學(xué)從業(yè)者可能對它比較了解。粘性場可以通過方程 1 來計算（參考文獻(xiàn)1）：

(1)

其中， 僅為橫截面方向的拉普拉斯算子。對于某些簡單的幾何結(jié)構(gòu)，我們可以對場進(jìn)行解析計算（例如壓力聲學(xué)，頻域 接口中的狹窄區(qū)域聲學(xué) 特征中的操作）。不過，當(dāng)用于拓?fù)鋬?yōu)化時，優(yōu)化方案的每一步都需要進(jìn)行數(shù)值計算。

在標(biāo)準(zhǔn)的聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中，插值變量在 0 和 1 之間變化，0 代表空氣，1 代表固體。為了給熱粘性聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化制定相似的插值算法，我想出了一種探試法，具體來講，就是將熱場和粘性場引入到插值策略中。粘性場的兩個典型邊界條件（參考文獻(xiàn) 1）是：

和

上述邊界條件有助于我們了解如何執(zhí)行優(yōu)化方案，因為前者可以表征空氣-固體交界面，后者可表征空氣-空氣交界面。我們將控制方程寫成更一般的形式：

已知對于空氣域，(av,fv) = (1,1)，因為它給出了原始方程（1）。如果我們將av替換成一個很大的值，梯度項就變得無關(guān)緊要；將fv設(shè)為0，可得：

它同諸如固體-空氣交界面的無滑邊界的邊界條件完全一致，只不過是通過控制方程所獲得的。我們需要這一性質(zhì)，因為在優(yōu)化過程中我們無法應(yīng)用顯式邊界條件。因此，固體 (av,fv)的值應(yīng)該包含 (“l(fā)arge”,0)。由此我們確定了插值的極端值：

和

利用圖 3 的測試幾何，我對顯式邊界條件和插值的極端條件進(jìn)行了對比。左側(cè)使用了邊界條件，針對右邊的相鄰域，我們輸入了 av 和fv 的推薦值。

圖 3：左側(cè)應(yīng)用了標(biāo)準(zhǔn)的邊界條件。右側(cè)黑色區(qū)域表示修改后的、可模擬固體邊界的場方程；白色區(qū)域表示空氣。

我們在邊界層足夠厚的頻率下對所有域的場進(jìn)行計算，該邊界層至少能在視覺上占據(jù)部分域。繪圖顯示場是對稱的，這表示極端的場值要么描述空氣，要么描述固體。從某種意義上講，這相當(dāng)于采用對應(yīng)的真實的邊界條件。

圖 4：基于圖 3 設(shè)置而獲得的帶等值線的場。

極值條件之間的實際插值是通過 SIMP 或 RAMP 算法（參考文獻(xiàn) 2）完成的，就像標(biāo)準(zhǔn)聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化一樣。粘性場和熱場均可通過方程與聲壓變量建立關(guān)聯(lián)。就這樣，我們成功獲得了世界上第一個耦合了精確的熱粘性損耗的聲學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化算法。

優(yōu)化損耗聲學(xué)響應(yīng)

本節(jié)將舉例說明優(yōu)化方法在實際案例中的應(yīng)用。由于粘性效應(yīng)，橫截面為六角形的管道產(chǎn)生了一定的聲學(xué)損耗。六角形每邊長約為 1.1 mm，其面積相當(dāng)于半徑為 1 mm 的圓形面積。在 100 和 1000 Hz 之間，聲學(xué)損耗的增長因子將近 2.6，如圖 7 所示?，F(xiàn)在，我們的目標(biāo)是找到最優(yōu)拓?fù)洌谠擃l率范圍內(nèi)獲得更平順的聲學(xué)損耗響應(yīng)，而不考慮實際損耗值。所得結(jié)構(gòu)如下：

圖 5：最大平坦的聲學(xué)損耗響應(yīng)的拓?fù)?，及其?1000 Hz 下的粘性場。

我們創(chuàng)建了一個與優(yōu)化拓?fù)湎嗨频暮唵螏缀谓Y(jié)構(gòu)，它可以應(yīng)用顯式邊界條件。

圖 6：優(yōu)化拓?fù)涞暮喕硎荆捌湓?1000 Hz 時的粘性場。

圖 7 對比了初始六角形幾何和經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化的幾何的歸一化聲學(xué)損耗。每個管道的損耗被歸一化為 100 Hz 的對應(yīng)值。

圖 7：初始橫截面（虛線）和拓?fù)鋬?yōu)化幾何（實線）的聲學(xué)損耗分別被歸一化為 100 Hz 的對應(yīng)值。

優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在 1000 Hz 下的聲學(xué)損耗只比 100 Hz 下高出 1.5 倍，而初始的幾何結(jié)構(gòu)則高 2.6 倍。就總體的損耗而言，經(jīng)優(yōu)化的幾何結(jié)構(gòu)明顯更高，但如上文提到的，我們在本例中不考慮這一點。

這種新穎的拓?fù)鋬?yōu)化策略可以擴展到更加普遍的一維方法中，使聲壓可以直接使用在目標(biāo)函數(shù)中。我們確定了通用三維幾何結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方案，不過具體實施仍在進(jìn)行中。它對于從事微觀聲學(xué)研究工作、致力于改進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化的高校人士和產(chǎn)業(yè)人員大有裨益。我希望該領(lǐng)域?qū)砟軌蛉〉酶L遠(yuǎn)的進(jìn)步。