基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法介紹

基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法的基本思想是：首先根據對被控對象的性能要求，設計出具有希望動態特性的線性參考模型；然后將參考模型的狀態作為控制系統的動平衡狀態，再利用李亞普諾夫第二方法設計控制律使系統對動平衡狀態漸近穩定。這樣被控系統的動態過程將收斂于參考模型給出的希望動態過程，從而使系統獲得預期的性能。

這種方法分為兩步：（1）按照希望的動態特性設計一滿足要求的參考系統，這里常用線性系統因為它較容易分析和設計。（2）以模型參考系統的狀態作為實際被控系統的被控動平衡狀態，利用Lyapunov函數直接方法設計控制律使系統對動平衡狀態漸進穩定。這里我們設計線性的參考系統Q指數穩定于原點，則這種方法的穩定問題在二維坐標系下的表示如圖1所示。

1、基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法的討論

若讓式（3）、（4）和式（5）直接成立，則只能達到局部漸進穩定。因此，我們仍應用backstepping設計方法中的虛擬控制的概念來設計。

但是，此方法也只能在局部實現，這是因為：使用改進的方法是使M→0，而非M=0，所以有兩種情況，即M→O_和M→0+，而對于M→0+，就有可能使V（e）=-eTQe+2M大于零，此時仍需進一步討論。

因此現在的問題有如下幾個：

（1）使用改進的方法如何判別M的符號問題。

（2）u-a21x1-a22x2-a23x3=0與最后結果是否能相容值得驗證。

（3）求得的控制率結果中分母項有可能為零，因此可能會引起震蕩，此需要討論和驗證。

對于問題（1），我們可以這樣來實現：因為總體的設計是使得V（e）=-eTQe+2M《0，并且根據前面的假設當t→∞時，有V（e）→0，增強的條件是前述的M≤0，減弱的條件是-eTQe+2M《0，即2M《-eTQe，因此，我們的設計可以這樣來進行：讓M→0的速度快于eTQe→0，如此選擇就能使原系統達到漸進穩定。對于問題（2）和（3），我們將進行討論。

2、改進的基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法

考慮如下的非線性系統：

由于Ad的所有特征值均具有負實部，因此可以找到正定矩陣P，使Q為一正定矩陣。若能選取控制向量ξ（x，xd，v，t），使M≤0，則V（e）《0。若能選擇ξ使M在所考慮的系統參數變化范圍內非正，則可保證系統具有參數不確定時反饋線性化的魯棒性。下面分情況考慮。

明顯上述式（20）～（23）中任何一個等號均不能成立，再次引入一個Lyapunov函數來進行設計。此時我們僅以一種表達為例來介紹下面的設計過程。

現選擇第二種表達，即：當［f（x，ξ，t）-Adx-Bdv］=-γe時，其中γ為一任意正數。

如果x3=x2d，則輸入是不可測的，即輸入無窮大，這在控制系統中是要避免的。但是，我們要注意的是分子亦是趨近于零的項，如果分子分母同時趨近零，那么我們的擔心將是不必要的，如果分子趨近于零的速度比分母快，那么就更不用擔心了。因此現在的問題轉化為分析A和B是否存在的問題。兩者的分子分母的解析式表達沒有非常明確的聯系，因為對于此在數學上暫時還沒有找到解決的辦法。但是可以在實驗中觀察到，即觀察分子分母趨于零的速度，速度快且持續保持在零的為相對的低階無窮小，在對某一類非線性系統設計時，如果分子是低階無窮小，則此設計有效，如果是分母，則設計無效。

3、設計與仿真

考慮如下的非線性系統：

使用改進的基于動平衡狀態的反饋線性化方法使以上系統達到全局漸進穩定，設仿射非線性系統（34）中狀態x1，x2的動平衡狀態分別為x1，x2，它是下列線性系統的狀態：

現在設x1（0）=0.3，x2（0）=1，x3（0）=-1，進行仿真時因為式中分母部分為零，得不到仿真結果并有出錯提示為“division by zero”。因此去掉分式中分母部分進行仿真，其理由是因為設計的控制輸入結果和3（xs-x3d）兩項在t→∞時將為零，它們對于控制輸入只是起一個調節作用，此時的仿真結果為如圖2，3所示。

改變參數的值，設k1=0.1，k2=2，則仿真結果如圖4、5所示。

改變參數的值，設k1=2，k2=0.1，則無法得到滿意的結果，Matlab有提示為“Warning：Fail-ure at t=3.258456e+000．Unable to meet inte-gration tolerances without reducing the step sizebelow the smallest value allowed（1.157636e_014）at time t.”。其仿真后的圖像如圖6、7所示。

但是設k1=2，k2=3，并在分式中前面加一個系數5得仿真結果如圖8、9所示。

設k1=3，k2=3，仍存在系數，則仿真結果如圖10、11所示。

由以上各圖我們得到以下結果：當k1=k2時，系統的狀態收斂情況最好；當k1《k2時，系統的狀態x1將不能穩定于零，而且誤差e1=x2-x2d將存在并且比較大；當k1》k2時，仿真沒有結果；在分式

前面加一個大于1的系數，仍去掉分母，其收斂效果將更好。

4、結 論

本文對基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法進行了討論、完善和補充，針對它在對仿射非線性系統進行設計時出現的問題，提出了改進的基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法，它在形式和方法上對基于動平衡狀態理論的反饋線性化直接方法做了一定的改進，引用Backstepping設計方法虛擬控制的概念來對系統進行二次Lyapunov函數設計。

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