鐵磁材料在電子元件和電動機械中無處不在。電磁建模的分析對象可以是各種廣泛的應(yīng)用，或是某種恰好具有磁性的材料特性（比如結(jié)構(gòu)鋼的力學(xué)阻力）。在這兩類情況中，鐵磁零件都會對其周圍的磁場造成影響，所以精確模擬鐵磁材料的影響對于設(shè)備或系統(tǒng)的正常運行至關(guān)重要。

鐵磁材料的分類

分類是認識不同材料呈現(xiàn)的各種磁性能的有效手段。最簡單的一種分類體系如下：

弱磁性材料

可使外加磁場產(chǎn)生微弱變化（例如順磁性材料和抗磁性材料）

軟鐵

可有效集中外部磁通量，但本身不具有“固有”磁化強度（因此如果放在沒有磁場的區(qū)域中，軟體會退磁）

硬鐵，下文稱之為永磁體

即便沒有外加磁場也會產(chǎn)生磁通量

第 2 和第 3 類材料被稱為鐵磁體。

不過，這種分類并不像表面上那么簡單，因為軟鐵和永磁體之間的界限未必如此清晰，而且某些特性是兩種類型所共有的。一種材料在無外部磁源時可能表現(xiàn)出微弱的磁化強度（類似于永磁體），但是，它的磁化強度也會因為外加磁場而大大增強（類似于軟鐵）。

此外，有的材料會表現(xiàn)出滯回性能，也就是說，在應(yīng)用并移除外部載荷之后，它的磁性將變得與原先不同。外部載荷不一定指電流所產(chǎn)生的磁場，也有可能是物理位移（參照下方動畫）。

綜上所述，在處理鐵磁材料時，我們需要描述各種截然不同的磁性能。在本篇博客文章中，我們將分析 COMSOL? 軟件的相關(guān)可用選項。

磁性本構(gòu)關(guān)系概述

磁性能的多樣性體現(xiàn)在各種不同的系統(tǒng)中（包括有利或不利影響），所以表征磁性能范圍的能力非常重要。

“AC/DC模塊”能夠通過下表第一列的八種預(yù)定義本構(gòu)關(guān)系，自動添加所有類型的磁性能，它也允許用戶輸入自己用代碼編寫的外部材料。弱磁性材料的表征通常利用第一個選項——相對磁導(dǎo)率，這也是COMSOL Multiphysics? 軟件的系統(tǒng)默認選項。

處理鐵磁材料則可能需使用另一種本構(gòu)關(guān)系。下表中的前四個選項適用于軟鐵，再往下四個則適用于永磁體。兩組均按照本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜程度進行遞增排序：越靠后，磁化動力學(xué)就需要通過更多特性來描述。

軟鐵或硬鐵模擬所使用的規(guī)律與所需的參數(shù)數(shù)量一覽。*“AC/DC 模塊案例庫”中的示例仿真 App可以基于標(biāo)準(zhǔn)的 B-H 曲線自動計算等效 B-H 曲線的函數(shù)。歡迎閱讀已發(fā)布的博客文章，了解關(guān)于這類功能的更多信息。**外部磁性材料是 B-H 曲線的一個子選項。詳細信息請參閱關(guān)于訪問外部材料模型的博客文章。

下方八張繪圖解釋了上表中的各種本征關(guān)系在 B-H 平面中的典型動力學(xué)特征。在 B-H 繪圖中，y軸表示磁通密度 B。磁通的解釋不存在太多模糊性，因為它可以直接測量。x軸是磁場 H 的量度。H 的解釋或許依賴于受分析系統(tǒng)的具體情況（下文的案例將解釋這一點）。

目前我們只考慮理想的磁路。磁路材料是一個長度為 L 的圓環(huán)，由 N 匝載流為 I 的線圈均勻繞成。在此例中，H = N*I/L。根據(jù)應(yīng)用不同，制造商可能用這種設(shè)計（或另一種設(shè)計，例如愛波斯坦方圈）來展示 B-H 曲線。

下面，我們列舉了一些案例，大致介紹如何針對一些典型應(yīng)用中常見的磁性材料來使用這些條件。

軟鐵的適用規(guī)律

永磁體的適用規(guī)律

需要注意的是，我們沒有提到第一個表中的外部磁性選項。這是一個子選項，選定B-H 曲線本構(gòu)關(guān)系之后就可以顯示，它可用于模擬更多的通用磁力規(guī)律。一篇已發(fā)布的博客詳細介紹了一個相關(guān)案例。該選項通常適用于可能包含條件邏輯的定制磁滯模型。

上表討論的所有參數(shù)和函數(shù)均可能是模型中其他參數(shù)的函數(shù)。認識到這一點極其重要，因為我們可以利用這一函數(shù)關(guān)系添加多物理場效應(yīng)，或者在處理材料非線性時擁有更多自由度。

在磁路的拓撲優(yōu)化教學(xué)模型的案例中，相對磁導(dǎo)率本構(gòu)關(guān)系被手動添加了非線性依賴關(guān)系，由此使其表現(xiàn)與B-H 曲線完全相同。此案例表明，轉(zhuǎn)換本構(gòu)關(guān)系與在相對磁導(dǎo)率輸入框中寫入 murOfB(mf.normB) 一樣簡單。這是一個實用技巧，因為磁導(dǎo)率隨即被設(shè)為了 1-p^2+p^2*murOfB(mf.normB)，所以規(guī)律描述的是p為 0 的區(qū)域內(nèi)的空氣和p為 1 區(qū)域內(nèi)的軟鐵（模型中p是根據(jù)拓撲優(yōu)化而變化的函數(shù)。請注意，正如模型文檔所解釋，輸入 normB 的函數(shù)時還需要進行其他操作，以避免收斂問題。模型中“將復(fù)數(shù)變量拆分成實部和虛部”的選項處于開啟狀態(tài)）。

感應(yīng)加熱是設(shè)置磁導(dǎo)率函數(shù)的另外一個實用用途。在此類情況中，材料超過了居里溫度。這時，通常將磁導(dǎo)率設(shè)為形如 1+f(T)*(mur(normB)-1) 的函數(shù)，其中，f(T) 函數(shù)在低溫時從 1 開始不斷降低，達到居里溫度時降為 0（高于居里溫度互仍為 0）。在精確模擬鋼的多個感應(yīng)加熱過程（比如淬火）時，需要采用此方法。更普遍的做法是，從文獻或者數(shù)據(jù)表中獲取很多 B-H 參數(shù)與溫度的函數(shù)依賴關(guān)系，然后使用相同的方法將它們插入仿真中。

盡管很多參數(shù)在表格中被稱為“標(biāo)量”或“函數(shù)”，但它們可能是“張量”，或是由一組函數(shù)來填充矢量或張量。認識到這一點很重要，因為磁性本質(zhì)上是一個矢量。實際上，對于第一張表中的所有特性，“AC/DC 模塊”提供了完整模擬各向異性材料的選項。矢量磁滯教學(xué)模型中討論了相關(guān)的案例，該模型采用了各向異性的 Jiles-Atherton 材料，并重現(xiàn)了已發(fā)表的數(shù)據(jù)。

磁場的矢量性質(zhì)對于模擬移動的磁力機械至關(guān)重要。下面的動畫展示了旋轉(zhuǎn)機械仿真中的磁通密度，外部域是參照 Jiles-Atherton 磁滯模型來描述的。左側(cè)是旋轉(zhuǎn)中的磁滯域，右側(cè)是旋轉(zhuǎn)中的內(nèi)部磁體。對比左圖的任意一點與右圖中相應(yīng)的點，矢量 B 和 H 的所有分量都遵循旋轉(zhuǎn)矢量必須滿足的轉(zhuǎn)換。右側(cè)動畫是結(jié)果是左側(cè)動畫的剛性旋轉(zhuǎn)結(jié)果。

旋轉(zhuǎn)機械的磁通量，其中磁滯材料表明矢量性質(zhì)是準(zhǔn)確的，所以磁場源（左圖）坐標(biāo)系和磁滯域（右圖）坐標(biāo)系內(nèi)的局部場完全一致。

利用 COMSOL Multiphysics? 模擬鐵磁材料

下面，我們通過一個示例展示，當(dāng)模擬同一鐵磁材料在不同工藝流程中的特性時，可以采用的不同規(guī)律。這里的假設(shè)前提是：只有一組有限的可檢索的典型材料信息可用。

在此示例中，我們模擬一個如下圖所示的磁路。紅色區(qū)域代表一塊非線性軟鐵，被表征為不明顯的剩余通量和磁滯 B-H 曲線（來自“AC/DC模塊”的“材料庫”中可用的軟鐵材料：彎頭在大約 5400[A/m] 時達到 1.5[T]）。藍色區(qū)域代表纏繞在軟鐵芯上的線圈。綠色區(qū)域表示我們計劃利用不同規(guī)律進行分析的對象，它可以是初始時沒有磁化的鋁鎳鈷合金元件。

磁路的幾何結(jié)構(gòu)，它包含軟鐵（紅色）、線圈（藍色）和類似于鋁鎳鈷合金的材料（綠色）。開始時合金棒沒有磁性，線圈通電后被磁化，被從磁路中抽出后（箭頭方向）就會退磁。

我們可以對四種不同工作條件下的磁路進行仿真：

由于線圈通電，鋁鎳鈷合金元件從無磁狀態(tài)向磁化狀態(tài)轉(zhuǎn)變

由于步驟 1 對線圈通電，鋁鎳鈷合金元件被磁化，甚至在線圈斷電后，仍然保持最大的磁化強度

在步驟 2 最后，磁化的鋁鎳鈷合金元件被從鐵芯中拔出，因此部分退磁

磁化的鋁鎳鈷合金元件被放回磁路中，基本上保持了被從磁路抽出時的低磁性剩余通量

我們或許會想調(diào)整整個周期的本構(gòu)關(guān)系。這一操作確實可行，但通常需要鐵芯廠商專門進行特殊的獨立測量。例如，我們應(yīng)該不難知道完全磁化材料的 H 值，以及對應(yīng)的剩余通量和退磁曲線。

在此例中，假設(shè)我們已知外加的 30[kA/m] 磁場達到了磁飽和，B-H 平面第二象限的（單軸）退磁曲線記錄在下方表格中。曲線從 H = 0 處的剩余通量 Br 開始，在（負值）矯頑磁場的 Hc 處 B = 0。需要注意的是。表中記錄的數(shù)據(jù)精確地表征了 COMSOL Multiphysics “AC/DC 模塊”的“材料庫”中的可退磁非線性磁體材料。

如果您希望導(dǎo)入自己的數(shù)據(jù)，請查閱軟件內(nèi)置的案例材料。需要注意的是，您需要提供矯頑磁場 Hc和適當(dāng)放置的退磁曲線。考慮到初始的曲線跨越了第二象限，曲線應(yīng)沿H軸平移 abs(Hc)。操作后，輸入的 B-H 曲線將從 (0,0) 開始，在 abs(Hc) 值處剩余通量密度達到 Br。更多操作指導(dǎo)請查閱AC/DC Module User’s Guide。

“AC/DC模塊”的“材料庫”中可用的可退磁非線性永磁體材料的第二象限 B-H 曲線數(shù)據(jù)。

四個過程中鋁鎳鈷合金元件中心的磁通密度水平分量的軌跡如下圖所示。不同顏色代表不同的階段：

藍色曲線：與電流饋電相關(guān)（該步驟從左開始，始于 H = 0 處，無電流；在右側(cè)很遠處達到最大磁化強度）

綠色曲線：與斷開電流的過程相關(guān)（從右側(cè)很遠處開始；在左邊 H = 0 處磁通密度達到有限值，此時線圈中沒有電流流經(jīng)）

紅色曲線：與由于被從磁路中取出而導(dǎo)致的退磁過程相關(guān)；與上表中的數(shù)據(jù)完全相同

藍綠色曲線：重新將磁體插回磁路中；此過程從左邊開始（整個磁體脫離磁路），在右邊結(jié)束（磁體完全位于磁路內(nèi)）

四個階段過程中鋁鎳鈷合金中心的磁通密度的水平分量。

下方視頻展示了向鋁鎳鈷合金元件施加條件，這些條件生成了上圖中的軌跡。

值得注意的是，這些仿真都非常簡單，均為穩(wěn)健的參數(shù)化穩(wěn)態(tài)仿真，而且最終始于之前的求解結(jié)果。利用這種設(shè)置，開發(fā)相同的三維模型或者更復(fù)雜的幾何形狀都可以變得很簡單。如上文所述，我們使用了之前的求解數(shù)據(jù)來關(guān)聯(lián)不同區(qū)域的特性。這解釋了為什么上方的曲線圖中存在細微的不連續(xù)。

我們可以對模型進行調(diào)整，使過程精準(zhǔn)地連續(xù)在一起，但是區(qū)分最終的附加參數(shù)可能需要更多信息和測量數(shù)據(jù)。通過這些操作步驟，我們發(fā)現(xiàn)測量值或許不是必要信息，利用通常可用的材料數(shù)據(jù)也可以獲取合理的求解結(jié)果。

回顧上方曲線圖中的磁滯回線，我們可以對x軸代表的物理量做個記錄。對于步驟 1 和 2 中的x軸，我們自然會將它理解為與驅(qū)動電流成正比的物理量。在步驟 3 和 4 中，線圈內(nèi)沒有電流，磁場依賴于元件的空間位移。因此很難毫不猶豫地判斷應(yīng)該在 x 軸上應(yīng)用哪一個物理量。在步驟 3 中，我們使用了內(nèi)置變量 axialH。在步驟 4 中，我們采用了與磁路之間的歸一化位移。這些不同的定義對于解釋 B-H 曲線很重要，它可以幫您在創(chuàng)建繪圖時摸清研究者的意圖（也就是說使用哪個實驗裝置）。

本例清楚表明，我們可以在不同的研究中替換成不同的本構(gòu)關(guān)系，針對這些本構(gòu)關(guān)系的特性，我們可以根據(jù)之前計算結(jié)果中的變量寫入任何表達式。為了不陷入復(fù)雜的討論，所以我們在本文中采用了最簡單的方法。至于更先進和精密的鋁鎳鈷合金元件被從磁路中取出和再插入的三維模型，可以查閱自退磁模型。該模型為磁體的再插入過程添加了一個局部的線性反沖模型。

結(jié)論

在本篇文章中，我們分析了 COMSOL Multiphysics 和“AC/DC 模塊”中各種模擬磁性材料的選項。我們首先闡述了磁學(xué)的基本原理，并提供了一組條件，指明了與每一條規(guī)律相適應(yīng)的真實材料和裝置。我們還討論了多物理場模擬功能以及更高級條件的應(yīng)用方法。

即使如此，在選擇本構(gòu)規(guī)律時，我們僅僅淺顯地觸及一小部分重要考慮因素。我們建議您參考原文末尾的拓展資源，歡迎聯(lián)系我們獲取更多關(guān)于軟件的信息。