【摘　要】滑動濾波器型譜分析器是通過短時傅立葉變換來進行實時譜分析的，本文詳細分析了其用作濾波器時的頻域特性。給出了極窄帶濾波器的具體實現方案。
??? 關鍵詞：譜分析器 極窄帶濾波器 短時傅里葉變換
　　
1 引　言
　　一軍用通訊儀器要求能夠監測某一信號相對較密集的頻段內某一個頻率點的信號特征隨時間變化的情況，以便判斷該信號的調制方式。由于該頻段的信號非常密集，所以要求在提取該頻率點的信號時，帶寬極窄：－3dB帶寬限制在1Hz以內，盡量減少相鄰頻率點信號對該頻率點的影響 ，從而精確地獲知其特征。
　　顯然，在模擬電路中采用傳統的諧振式電路是很難達到所要求的指標的：第一，采用單級的選頻電路選頻帶寬相對1Hz來說極大；第二，就算是采用高Q值的多級選頻電路串聯工作方式，也需要很多級數，而多級方式下一致地改變調諧的中心頻率是很難做到的，而且由于器件參數離散性的影響，要求所有的選頻回路調諧在偏差不超過1Hz的中心頻率上，簡直是不可能的，所以無法采用傳統的諧振式電路。而采用晶體濾波器相對一般的濾波器來說諧振帶寬稍微要窄一點，但是其諧振的頻率范圍至少也有幾十赫茲，仍然達不到要求的指標，而且晶體的諧振還具有多諧性，也無法采用。相對而言，本文借用了滑動濾波器型譜分析器思想的數字處理方式，不僅可以達到要求的指標，而且算法非常簡單，具有模擬方式不可比擬的靈活性。整個的功能框圖如圖1所示。
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??? 圖1中，乘法器和低通濾波器構成了下混頻的功能：將需要監測的很高頻率的信號變頻下來，以便進一步處理。在該處混頻時，本振的頻率f0和待監測的頻率點的頻率一致。所以經混頻之后 ，要監測的信號頻率為0，因此只要分析下混頻之后直流信號的特征，就能監測信號。實際上由于監測信號點的頻率極高，達到了GHz的數量級，一次混頻無法完成，所以實現時采用了二次混頻的技術。同時低通濾波器還有抗頻譜混疊的作用，為下一步的數字化作了準備。在數據采樣時考慮到輸入信號的實際帶寬，及其他功能模塊的實現，采用了固定的采樣頻率fs＝80kHz，12bit量化。信號經過數字化后，由低通濾波器來實現信號提取的功能。主要的技術關鍵在于獲取可變的且高精度的本振頻率f0和極窄帶寬的低通濾波器。其中本振頻率f0已經得到解決，可以借助于已經開發成功的小數分頻來直接合成。
　　本文主要討論如何采用滑動濾波器型譜分析器來實現極窄帶信號的提取。
2 關于滑動濾波器型譜分析器的討論
　　滑動濾波器型譜分析器可以進行實時的譜分析，實質上進行了短時傅立葉變換，從原理上來看是利用了DFT算法，只不過DFT的求和范圍是0～（M－1），而滑動濾波器型譜分析器則是從當前時刻n開始后退的M個點的信號段。其表達式定義如下：
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??? 可見，X（n，k）不僅是頻率k的函數，而且是時間n的函數，在M＝2N時，經變量代換l＝n－m后得
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??? 從頻域的角度來看可能更容易理解一些，從系統函數來看該系統結構，其分子是一個梳狀濾波器，在單位圓上每隔有一個零點，其分母有單極點，所以在單位圓上零極點抵消，只讓該點的頻率成分通過。這只是對頻域較粗略地分析而得出的結果，但是否只有該頻率點成分的信號分量通過，還是以該頻率點為中心的某一段信號都可以通過，這在一般的文獻中基本都沒有給出進一步的分析。
??? 實際上，由（3）式得：
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,其等效低通主瓣的寬度為，旁瓣峰值衰耗為－13dB，最小阻帶衰耗為－21dB，旁瓣的衰減速度為6dB／oct。除了中心頻率經過調制之外，與矩形窗的指標完全一致。
　　因此整個滑動濾波器型譜分析器的第1條通道實質是一個低通濾波器，而第N條通道是一個高通濾波器，其余的通道實質上是以為中心的帶通濾波器。其頻域特性在上面已經給出。下面就結合本系統的應用給出其作為低通濾波器的實例。
3　極窄帶低通濾波器的應用分析
　　在本應用中，只要求提取直流分量，所以只取k＝0的通道來分析，其對應的譜分析器的結構如圖2所示。
　　　　　　　　　　　　　
　　圖2對應的表達式為：
　　　　　　　　　　　　　　
出，該通路在結構上是IIR（Infinite ImpulseResponse）的，而實質上卻是FIR(finite Impulse Response)的；所以很容易就可以得到其頻響特性。若fs＝8 0 kHz，M＝1 0 0時 ，其頻響曲線可由MATLAB仿真如圖3、圖4所示。
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　由圖3可以看出，當fs＝80kHz，M＝100時，該低通濾波器的低通主瓣的寬度還是較大的，圖4是－3dB處的放大頻響特性曲線，其－3dB對應的數字頻率近似為8．7732×10－3π，而fs＝80kHz，可以算出－3dB截止頻率在f3＝80×103×8．7732×10－3×π÷2π＝350．9Hz模擬頻率點　。而且在這種情況下，討論其－3dB帶寬是沒有意義的，因為主瓣的寬度相對所要求的1Hz來說太寬了，會混入相鄰的極寬頻段信號，導致監測出來的信號與實際情況相去甚遠。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　對于本應用來講，最重要的是主瓣的寬度要窄，其次才考慮旁瓣的峰值衰耗。而在所有的窗函數中，矩形窗的主瓣寬度是最窄的，因此，毫無疑問在本原型設計中選用了矩形窗。在窗函數選定之后，要降低濾波器的低通截止頻率，可以通過降低主瓣的寬度來實現，也就是加大M的值。如當M＝1000，fs＝80kHz時，其幅頻特性如圖5所示。其－3dB的截止頻率為35Hz左右。阻帶內最小衰耗為－32．4dB。在這種情況下，可以看到濾波器的帶寬依然與所要求的指標有相當的距離。僅依靠增加M的值固然可以實現，但付出的代價明顯很大。為達到給定的指標，M值大約應該在10000左右。每個數據為14比特，需要近似為17k的數據容量。對于采用基于DSP平臺的系統來講，要專門分配給一個濾波器如此大的數據區，有點不太可能。所以必須考慮采用數據下采樣來實現該濾波器，這將在下一部分討論。
4　窄帶濾波器的實現
　　在第一部分對滑動濾波器型譜分析器的理論分析的基礎上，可以看出僅僅依靠增加采樣數據的點數來達到所要求的指標是不經濟的，因而可以從另一方面來解決問題。因為在數字域里，頻率的概念是相對的，所以降低濾波器的工作頻率，相應地可以降低濾波器的截止頻率。如原來濾波器的工作頻率為80kHz，對應的－3dB截止頻率為35Hz，如果其工作的頻率變為800Hz，則濾波器的－3dB截止頻率為0．35Hz，而且低通主瓣的頻帶寬度為1．6Hz，已經超過了所要求主瓣頻帶寬度為2Hz的指標。　
　　根據上面的分析，將濾波器的工作頻率降為原來的百分之一，可以通過100：1的下采樣來實現。在下采樣之前，為防止頻譜混疊，還加入一個低通濾波器。從下采樣的原理來講，該濾波器的低通截止頻率至少要低于為下采樣的比率。而上面分析的低通濾波器，其主瓣的寬度為在M＝1000，fs＝80kHz時，相當于160Hz，比2＝800Hz小得多，所以，在這里依然可以采用該低通濾波器作為下采樣抗混疊濾波器。
　　因此最終該極窄帶低通濾波器的結構如圖6所示。
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　　之所以借用滑動濾波器型的譜分析器來實現該濾波器，首先是因為它本身就是一個濾波器，而且實現起來特別簡單，對于一條通路來說，只需要兩次簡單的加法，兩次數據存儲，一次歸一化的乘法就可以完成。其次矩形窗函數雖然存在固有的最小阻帶衰耗小的缺點，但是在本處應用中最重要的是主瓣寬度要小，所以采用了該結構。　　
　　該濾波器的實現方法可以有兩種，因為算法比較簡單，可以在CPLD中實現。其中要注意一個問題是，為了避免實現復雜的乘法運算，可以把M取為1024，則乘以歸一化因子可以用右移10位實現，輸入的數據是12位的，因此所有的操作只要處理最高的兩位就足夠了。總共需要處理的數據量為1024×2bit＝2048bit，所需的存儲空間極少，如ALTERA的FLEX系列中每個EAB（EmbededArray Block）中提供了可以配置成1×1024bit的RAM，所以四個EAB加上極少量的邏輯控制就可以實現該窄帶濾波器。也可以采用通用的DSP為平臺，通過程序代碼來實現。對于一般的DSP芯片中的數據RAM容量不是非常的寬裕，所以實現的時候，同樣可以借用在CPLD實現的思路。
5　結束語
　　本文主要討論了滑動濾波器型譜分析器的頻域特征，并詳細分析了作為低通濾波器在實際中的應用，同時具體給出了兩種不同的實現方案。實驗的頻譜分析結果表明，該窄帶濾波器與預期的理論分析結果完全一致，其帶通指標超過了設計所要求的指標。
??? 根據文中的理論分析，滑動濾波器型譜分析器同樣也可以應用于極窄帶的帶通或高通濾波器的設計中，只要將調制的中心頻率設置在所需的頻率點上即可。

　

1　張宗橙，張玲華，曹雪虹．數字信號處理與應用．南京：東南大學出版社，1997
2　宗孔德．數字信號處理．北京：清華大學出版社，1988
3　鄒理和，吳兆熊．數字信號處理．北京：國防工業出版社,1985
4　陳永彬．數字信號處理．南京：東南大學出版社，1987
5　A．N．Akansu＆R．A．Haddad．Multiresolution SignalDecomposition：Transforms，Subbanks，and Wavelets．Acadamic Press，INC．，Boston 1992
6　Peter Pirsch．Architectures for DigitalSignalProce－ssing，University ofHannover，Germany，John Wiley＆Sons Press，1998