1、小波變換：

　　小波：有限時間范圍內變化，并且平均值為0。

　　小波具有兩種性質：

　　A、具有有限的持續時間和突變的頻率和振幅；

　　B、在有限時間范圍內平均值為0。

　　小波變換：函數中含有兩個變量，尺度a和平移量τ

　　尺度a：控制小波函數的伸縮，對應于頻率（反比）

　　平移量τ：控制小波函數的平移，對應于時間

　　2、小波變換計算的主要步驟

　　1）、取一個小波，將其與原始信號開始一節進行比較；

　　2）、計算相似度C，C表示小波與索取一節信號的相似程度；

　　3）、向右平移小波，重復第一步和第二步，直至覆蓋整個信號；

　　4）、伸展小波，重復以上三步；

　　5）、對所有縮放，重復以上四步。

　　3、小波變換的特點

　　1）小波變換：既具有頻率分析的性質，又能表示發生的時間，有利于分析確定時間發生的現象（與之相比傅里葉變換只具有頻率分析的性質）

　　2）小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨率不同特征的提取（圖像壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）

　　3）小波變換比快速傅里葉變換快一個數量級

　　4）對于突變信號，在突變的時間點，傅里葉變換需要用大量的三角波去進行擬合（吉布斯效應）；

　　5）小波變換則在突變處不為0，其他區域相關系數都為0，大量節省儲存空間。

　　4、小波變換的應用領域

　　1）、語音分析與處理

　　小波理論應用于語音分析與處理的主要內容包括：1）清/濁音分割;2）基音檢測與聲門開啟時刻定位;3）去噪、重建與數據壓縮等幾方面， 國內外研究表明， 小波應用于語音信號特征提取、事件檢測、語音增加、語音合成、波形編碼等方面已取得很好的成果， 充分顯示了小波分析的優良性能。

　　2）、圖像壓縮

　　小波分析最早的應用領域，節省存儲空間，如美國耶魯大學R.Coifman 教授等人為代表的小波研究組用小波分析對美國聯邦調查局存貯的三億個指紋進行數據壓縮， 取得了二十倍有效益的成果， 單單因為節省存貯光盤而獲得的效益便是三千萬美元之巨， 而由于指紋傳輸時間縮短為原來的二十分之一所創造的價值更是無法估量。此后， 小波用于圖像壓縮與邊緣檢測一直是國內外科技工作者樂此不疲的熱點。

　　3）、圖像降噪

　　小波去噪的成功主要得益于小波變換有如下特點： （ 1） 低熵性。小波系數的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低; （ 2） 多分辨率特性。由于采用了多分辨率的方法，可以非常好的刻畫信號的非平穩特征；（ 3） 去相關性。因小波變換可對信號去相關，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比時域更利于去噪; （ 4） 選基靈活性。由于小波變換可以靈活的選擇基，也可以根據信號特點和去噪要求選擇多重小波、小波包、平移小變小波等，對于不同的場合，可以選擇不同的小波母函數。

　　4）、基于多尺度變換的圖像增強技術

　　圖像增強的主要目的是提高圖像的視覺質量或者凸現某些信息特征信息。按照處理空間的不同，常用的增強技術可以分為基于圖像域和基于變換域兩種，前者直接對象素點作運算，如基于點運算的灰度直方圖調整和空域數字濾波;傳統算法在邊緣，細節方面存在失真，基于小波多尺度分析是解決該問題的有力工具。

　　5）、工業CT

　　工業CI 遠比醫學CT 復雜， 醫學CT 的對象始終是人， 醫學工作者對人的研究已有很長時間了， 而工業CT 的對象千變萬化、多種多樣， 這些對象來自工業、國防、郵電通信等行業的大小不一、結構異樣的部件。重慶大學ICT 中心是全國最早也是展開研究最好的工業CT中心， 卷積反投影方法是ICT 經常采用的一種關鍵技術， 將小波分析用于卷積反投影方法已成功開辟了一條嶄新的技術路線。

　　5、小波變換在測量中的應用

　　1）電力系統諧波檢測

　　近年來，隨著電力電子技術的快速發展，各種電力電子設備、家用電器以及其它非線性負荷的大量使用，使得電網中出現了大量的諧波，使得電力系統諧波污染問題日益嚴重，也嚴重影響了電能質量，同時對電力系統安全、穩定、高效地運行形成了威脅。

　　相對于傳統的諧波分析方法，如ZZI、瞬時無功功率理論而言，基于小波分析諧波分析和測量方法，在時滯以及計算方面都具有一定的優勢。

　　小波變換不僅能用于穩態信號的諧波分析，而且可以跟蹤暫態瞬時的信號。

　　2）超聲回波檢測

　　超聲波檢測技術具有適中的分辨力和較低的成本優勢， 使之成為工業檢測中應用較多的一種檢測方法。由于超聲檢測過程中的回波信號同時包含回波信號和各種噪聲信號， 而且， 微小回波信號微弱， 易于被噪聲淹沒， 因此， 必須設法從嘈雜的波形中判斷出回波之所在

　　由于光滑表面的回波邊緣較陡峭， 而粗糙不平的表面回波邊緣較為模糊， 加上背景干擾和回波中所包含其他的頻率成分的起伏振蕩， 單從回波序列中無法準確地提取出波形來。這里， 采用多尺度小波變換邊緣特征提取的方法很好地解決了這個問題。

　　3）微弱信號測量

　　在遠距離測量過程中， 經常會遇到被測信號比較微弱、測量到的信號信噪比（SNR）較小的情況。主要有3 類噪聲污染測量信號：（1）空間的信道背景噪聲；（2）探測器噪聲；（3）檢測電路的噪聲。

　　6、小波邊緣的優勢總結

　　1）小波變換優勢在于：

　　2）速度快

　　3）節省存儲空間

　　4）對突變信號還原程度高

　　5）實現時間分辨率和頻率分辨率的統一