◆ z變換在離散系統(tǒng)中的作用，與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用非常相似。

若設(shè)，并將寫成F(Z),則得

F(z)就叫做的z變換，并且以表示的z變換。

在z變換中，只考慮采樣時(shí)的信號值。因此，f(t)的z變換與f*(t)的z變換有相同的結(jié)果。即:

因?yàn)镕(z)只取決于f(t)在t=kT(k=0,1,2,…)上的數(shù)值，所以F(z)的z反變換，只給出了f(t)在采樣瞬間的信息。

表7-1列出普通時(shí)域函數(shù)的z變換，表7-2列出z變換的常用性質(zhì)。

7.3.2 z變換的方法

⒈級數(shù)求和法

舉例說明之。

例7-1 求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換

注意:只要函數(shù)z變換的無窮級數(shù)F(z)，在z平面某個區(qū)域內(nèi)收斂，則在
應(yīng)用時(shí)，就不需要指出F(z)的收斂域。

例7-2 求下列函數(shù)的z變換........

f(t)=0(t＜0)
f(t)=e^ωt(t≥0)

解：

例7-3 求下列函數(shù)的z變換........

f(t)=0(t＜0)
f(t)=sinωt(t≥0)

解：

⒉部分分式法
當(dāng)給定某連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)時(shí)，欲求其z變換，可利用本法，因?yàn)樵S多函數(shù)F(s)利用部分分式可以化成如下形式：

通過其中的每一項(xiàng)拉氏反變換得到原函數(shù)f(t)為：

而其z變換可以表示為:

下面舉例說明。

例7-4 求下列函數(shù)的z變換：F(s)=1/s(s+1)

解: 先將F(s)展開成部分分式。

其中, 1/s[或1(t)]相應(yīng)的z變換為z/(z-1) ,而1/(s+1)[即e^-t] 相應(yīng)的z變換為
z/(z-e^-T)

	x(t)或x(k)	Z[x(t)]或Z[x(k)]
1	ax(t)	ax(z)
2	x1(t)+x2(t)	X1(z)+X2(z)
3	x(t+T)或x(k+1)	zX(z)-zx(0)
4	x(t+2T)	z2X(z)-z2x(0)-zx(t)
5	x(k+2)	z2X(z)-z2x(0)-zx(1)
6	x(t+kT)	zkX(z)-zkx(0)-zk-1x(T)-…-zx(kT-T)
7	x(k+m)	zmX(z)-zmx(0)-zm-1x(T)-…-zx(m-1)
8	tx(t)
9	kx(k)
10	e-atx(t)	X(zeaT)
11	e-akx(k)	X(zea)
12	akx(k)	x(z/a)
13	k akx(k)
14	x(0)
15	x(∞)
16		x(1)
17		X(z)Y(z)