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函數的可視化與Matlab作
2.1 實驗與觀察：函數的可視化
2.1.1 Matlab二維繪圖命令
1.周期函數與線性p－周期函數
◆ 觀察 ：
【 clf, x=linspace(0,8*pi,100);
F=inline('sin(x+cos(x+sin(x)))');
y1=sin(x+cos(x+sin(x))); y2=0.2*x+sin(x+cos(x+sin(x)));
plot(x,y1,'k:',x,y2,'k-') legend('sin(x+cos(x+sin(x))','0.2x+sin(x+cos(x+sin(x)))',2) 】
2. plot指令：繪制直角坐標的二維曲線
3. 圖形的屬性設置和屏幕控制
【 h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi])); grid on
set(h,'LineWidth',5,'color','red'); set(gca,'GridLineStyle','-','fontsize',16) 】
◆設置y坐標的刻度并加以說明，并改變字體的大小。
【 h=plot([0:0.1:2*pi],sin([0:0.1:2*pi]));grid on，
set(gca,'ytick',[-1 -0.5 0 0.5 1]), set(gca,'yticklabel','a|b|c|d|e'),
set(gca,'fontsize',20) 】
4. 文字標注指令
【 plot(x,y1,'b',x,y2,'k-') ,
set(gca,'fontsize',15,'fontname','times New Roman'), %設置軸對象的字體為times
% New Roman，字體的大小為15
title(' \it{Peroid and linear peroid function}'); %加標題，注意文字用單引號' ' 加上
%斜杠'\'后可輸入不同的設置，例如it{…}表示花括號里的文字為斜體；如果有多項設置，
%則可用\…\…\…連續輸入。
xlabel('x from 0 to 8*pi it{t}\'); ylabel('\it{y}'); %說明坐標軸
text(x(49),y1(50)-0.4,'\fontsize{15}\bullet\leftarrowThe period function {\itf(x)}');
%在坐標(x(49),y1(50)-0.4）處作文字說明， 各項設置用""隔開。
%\fontsize{15}\bullet\leftarrow的意義依次是：\字體大小=15 \ 畫圓點 \左箭頭
text(x(14),y2(50)+1,'\fontsize{15}The linear period function {\itg(x)}\rightarrow
\bullet') %與上一語句類似，用右箭頭 】
圖2.5 文字標注
◆觀察指令legend和num2str的用法：在同一張圖上畫出 ， 這里 , 并進行適當的標注。
zxy2_2.m
【 clf, t=0:0.1:3*pi;alpha=0:0.1:3*pi;
plot(t,sin(t),'r-');hold on; plot(alpha,3*exp(-0.5*alpha),'k:');
set(gca,'fontsize',15,'fontname','times New Roman'),
xlabel('\it{t(deg)}');ylabel('\it{magnitude}');
title(' \it{sine wave and {\it{Ae}}^{-\alpha{\itt}}wave}'); %注意\alpha的意義
text(6,sin(6),'\fontsize{15}The Value \it{sin(t)} at {\itt}=6\rightarrow\bullet', 'HorizontalAlignment','right'),
%上面的語句是一整行，如果要寫成兩行，必須使用續行號 … ，例如要在“ bullet',”
%后換行，需寫“bullet', …”后才能換行。
% 'HorizontalAlignment','right' 表示箭頭所指的曲線對象在 文字的右邊。
text(2,3*exp(-0.5*2),['\fontsize{15}\bullet\leftarrow The Value of \it{3e}^{-0.5 \it{t}}=',num2str(3*exp(-0.5*2)),' at \it{t} =2 ']);
%num2str的用法：['string1' ,num2str,'string2']，注意方括號的使用。
%legend('\itsin(t)','{\itAe}^{-\alphat}') % 請結合圖形觀察此命令的使用 】
運行結果如圖2.6所示。
5. 圖形窗口的創建和分割
◆觀察：
【 clf，b=2*pi;x=linspace(0,b,50);
for k =1:9
y=sin(k*x);
subplot(3,3,k),plot(x,y),axis([0,2*pi,-1,1])
end 】
2.1.2多元函數的可視化與空間解析幾何（三維圖形）
本節通過高等數學的幾個例子觀察Matlab的三維繪圖功能和技巧。
1. 繪制二元函數
◆觀察：繪制 的圖象，作定義域的裁剪。
◆（1）觀察meshgrid指令的效果。
【 a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10;
x=linspace(a,b,n); y=linspace(c,d,n);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
plot(X,Y,'+') 】
★三維繪圖指令mesh、meshc、surf。
◆（2）做函數的定義域裁剪，觀察上述三維繪圖指令的效果。
程序zxy2_4.m
【 clear,clf,
a=-1;b=1;c=-15;d=15;n=20;eps1=0.01;
x=linspace(a,b,n);y=linspace(c,d,n);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
for i=1:n %計算函數值z ，并作定義域裁剪
for j=1:n
if (1-X(i,j))<eps1|X(i,j)-Y(i,j)<eps1 %if語句這樣用
z(i,j)=NaN; %作定義域裁剪，定義域以外的函數值為NaN
else
z(i,j)=1000*sqrt(1-X(i,j))^-1.*log(X(i,j)-Y(i,j));
end
end
end
zz=-20*ones(1,n);plot3(x,x,zz),grid off,hold on %畫定義域的邊界線
mesh(X,Y,z) %繪圖，讀者可用meshz, surf, meshc在此替換之
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'), box on %把三維圖形封閉在箱體里 】
◆運行了zxy2_4.m 以后，有關向量存儲在工作空間中，在此基礎上，觀察上述等值線繪制指令的運行效果。
【 [cs,h]=contour(X,Y,z,15); clabel(cs,h,'labelspacing',244) 】
2. 三元函數可視化: slice指令
◆ 觀察： 繪制三元函數 的可視化圖形。
【 clf,x=linspace(-2,2,40); y=x; z=x;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z); w=X.^2+Y.^2+Z.^2;
slice(X,Y,Z,w,[-1,0,1],[-1,0,1],[-1,0,1]),colorbar 】
3. 空間曲線及其運動方向的表現：plot3和quiver指令
【 clf, t=0:0.1:1.5;
Vx=2*t;Vy=2*t.^2;Vz=6*t.^3-t.^2;
x=t.^2;y=(2/3)*t.^3;z=(6/4)*t.^4-(1/3)*t.^3; %由速度得到曲線
plot3(x,y,z,'r.-'),hold on %畫飛行軌跡
%算數值梯度，也就是重新計算數值速度矢量，這只是為了編程的方便，不是必須的
圖2.12 飛機的飛行軌跡與方向
Vx=gradient(x);Vy=gradient(y);Vz=gradient(z);
quiver3(x,y,z,Vx,Vy,Vz),grid on %畫速度矢量圖
xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 】
2.2應用、思考和練習
2.2.1 線性p周期函數
zxy2_3_f.m
【 function f=zxy2_3_f(x)
f=sin(x+cos(x)); 】
zxy2_3.m
【 clear，clf
a=-8;b=12;n=300;xx=linspace(a,b,n);
h=zxy2_3_f(xx);
S(1)=0;
for i=2:n
S(i)=S(i-1)+quad('zxy2_3_f',xx(i-1),xx(i));
end
subplot(1,2,1),plot(xx,S,'k-'),axis([a,b,-1.5,9])
subplot(1,2,2),plot(xx,[h;zeros(1,length(xx))],'k-'),axis([a,b,-1.5,1.5]) 】
2.2.2 平面截割法和曲面交線的繪制
◆用平行截面法討論由曲面 構成的馬鞍面形狀。
zxy2_6.m （ 平行截割法示例 ， 本程序的繪制兩曲面交線方法可以套用）
【 clf, a=-20;eps0=1;
[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10); %生成平面網格
v=[-10 10 -10 10 -100 100]; %設定空間坐標系的范圍
colormap(gray) %將當前的顏色設置為灰色
z1=(x.^2-2*y.^2)+eps; %計算馬鞍面函數z1=z1(x,y)
z2=a*ones(size(x)); %計算平面 z2=z2(x,y)
r0=abs(z1-z2)<=eps0;
%計算一個和z1同維的函數r0,當abs(z1-z2)<=eps時r0 =1；當abs(z1-z2)>eps0時，r0 =0。
%可用mesh(x,y,r0)語句觀察它的圖形，體會它的作用，該方法可以套用。
zz=r0.*z2;xx=r0.*x;yy=r0.*y; %計算截割的雙曲線及其對應的坐標
subplot(2,2,2), %在第2圖形窗口繪制雙曲線
h1=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'+');
set(h1,'markersize',2),hold on,axis(v),grid on
subplot(2,2,1), %在第一圖形窗口繪制馬鞍面和平面
mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);
h2=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'.'); %畫出二者的交線
set(h2,'markersize',6),hold on,axis(v),
for i=1:5 %以下程序和上面是類似的，通過循環繪制一系列的平面去截割馬鞍面
a=70-i*30; %在這里改變截割平面
z2=a*ones(size(x)); r0=abs(z1-z2)<=1; zz=r0.*z2;yy=r0.*y;xx=r0.*x;
subplot(2,2,3),
mesh(x,y,z1);grid,hold on;mesh(x,y,z2);hidden off
h2=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'.'); axis(v),grid
subplot(2,2,4),
h4=plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'o');
set(h4,'markersize',2),hold on,axis(v),grid on
end 】
2.2.3 微分方程的斜率場
◆ 繪制微分方程 的斜率場，并將解曲線畫在圖中，觀察斜率場和解曲線的關系。
zxy2_5.m ( 繪制一階微分方程的斜率場和解曲線)
【 clf,clear %清除當前所有圖形窗口的圖像，清除當前工作空間的內存變量。
a=0;b=4;c=0;d=4;n=15;
[X,Y]=meshgrid(linspace(a,b,n),linspace(c,d,n)); %生成區域中的網格。
z=X.*Y; %計算斜率函數。
Fx=cos(atan(X.*Y));Fy=sqrt(1-Fx.^2); %計算切線斜率矢量。
quiver(X,Y,Fx,Fy,0.5),hold on,axis([a,b,c,d])
%在每一網格點畫出相應的斜率矢量，0.5是控制矢量大小的控制參數，可以調整。
[x,y]=ode45('zxy2_5f',[0,4],0.4); %求解微分方程。
%zxy2_5f.m是方程相應函數f(x,y)的程序，單獨編制；[x0,xs]=[0,4]為求解區間；
%y0=0.4為初始值；輸出變量x,y分別為解軌線自變量和因變量數組。
plot(x,y,'r.-') %畫解軌線 】
zxy2_5f.m （微分方程的函數子程序）
【 function dy=zxy2_5f(x,y)
dy=x.*y; 】
2.2.4顏色控制和渲染及特殊繪圖指令
1.地球表面的氣溫分布（sphere指令）
◆
【 [a,b,c]=sphere(40);t=max(max(abs(c)))-abs(c);surf(a,b,c,t);
axis('equal'),colormap('hot'), shading flat,colorbar 】
2.旋轉曲面的生成：柱面指令cylinder和光照控制指令surfl
◆
【 x=0:0.1:10;z=x;y=1./(x.^3-2.*x+4);
[u,v,w]=cylinder(y);surfl(u,v,w,[45,45]);
shading interp 】
3.若干特殊圖形
◆ 運行下面程序，了解各指令的用法和效果。
【 x=[1:10]; y=[5 6 3 4 8 1 10 3 5 6];
subplot(2,3,1),bar(x,y),axis([1 10 1 11])
subplot(2,3,2),hist(y,x),axis([1 10 1 4])
subplot(2,3,3),stem(x,y,'k'),axis([1 10 1 11])
subplot(2,3,4),stairs(x,y,'k'), axis([1 10 1 11])
subplot(2,3,5), x = [1 3 0.5 5];explode = [0 0 0 1];pie(x,explode)
subplot(2,3,6),z=0:0.1:100; x=sin(z);y=cos(z).*10;
comet3(x,y,z) 】
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