數學分析期末考試題
一、?單項選擇題（從給出的四個答案中，選出一個最恰當的答案填入括號內，每小題2分，共20分）
1、?函數 在 [a,b] 上可積，那么（???? ）
A 在[a,b]上有界???? B 在[a,b]上連續
C 在[a,b]上單調???? D 在[a,b]上只有一個間斷點
2、函數 在 [a,b] 上連續，則在[a,b]上有（???? ）
A????? B
C????? D
3、?在[a，+∞]上恒有 ，則（???? ）
A 收斂 也收斂???? B 發散 也發散
C 和 同斂散?????? D 無法判斷
4、級數 收斂是（????? ）對p=1,2…，
A 充分條件?? B必要條件?? C充分必要條件?? D 無關條件
5、若級數 收斂，則必有（?????? ）
A???? B???? C???? D
6、 在[a，b]一致收斂，且an(x)可導（n=1,2…），那么（????? ）
A f（x）在[a，b]可導，且
B f（x）在[a，b]可導，但 不一定等于
C 點點收斂，但不一定一致收斂
D 不一定點點收斂
7、下列命題正確的是（???? ）
A 在[a，b]絕對收斂必一致收斂
B 在[a，b] 一致收斂必絕對收斂
C 在[a，b] 條件收斂必收斂
D若 ，則 在[a，b]必絕對收斂
8、 的收斂域為（????? ）
A (-1,1)???? B (-1,1]??? C [-1,1]??? D [-1,1）?
9、下列命題正確的是（????? ）
A 重極限存在，累次極限也存在并相等
B累次極限存在，重極限也存在但不一定相等
C重極限不存在，累次極限也不存在
D 重極限存在，累次極限也可能不存在
10、函數f(x,y)在（x0,,y0）可偏導，則（??? ）
A f(x,y)在（x0,,y0）可微????????? B f(x,y)在（x0,,y0）連續
C f(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向導數均存在???? D 以上全不對
二、計算題：（每小題6分，共30分）
1、
2、計算由曲線 和 圍成的面積
3、求極限
4、?已知 ，求
5、?計算 的收斂半徑和收斂域
三、討論判斷題（每小題10分，共30分）
1、討論 的斂散性
2、?判斷 的斂散性
3、?判斷 的一致收斂性
四、證明題（每小題10分，共20分）
1、設f(x)是以T為周期的函數，且在[0，T]上可積，證明
2、設級數 收斂，則當 時，級數 也收斂

參考答案
一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D
二、1、由于 在[0，1]可積，由定積分的定義知（2分）
? （4分）
2、?、兩曲線的交點為（0，0），（1，1）（2分）
所求的面積為： （4分）
3、解：由于 有界， （2分）
?= （3分）= =2（1分）
4、解： = （3分） = （3分）
5、解： ，r=2（3分）
由于x=-2，x=2時，級數均不收斂，所以收斂域為（-2，2）（3分）
三、1、解、因為被積函數可能在x=0和x=1處無界，所以將其分為
? = + （2分）
考慮奇點x=0應要求p-1<1；奇點x=1應要求p+q<1；（4分）當 時，由于 ，知2p+q-1>1時積分收斂（2分）
所以反常積分滿足p<2且2(1-p)2、解：由于 （6分），又 發散（2分）
所以原級數發散（2分）
3、解： （6分），由weierstrass判別法原級數一致收斂性（4分）
四、證明題（每小題10分，共20分）
1、證明： （1）（4分）
?（2）（4分）
將式（2）代入（1）得證（2分）
2、證明： （4分） 單調下降有界（3分）由Abel定理知原級數收斂（3分）